БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

ТУРБОХОД, судно, приводимое в движение паровой или газовой турбиной.
УБИЙСТВО, в уголовном праве преступление.
УЗБЕКСКИЙ ЯЗЫК, язык узбеков.
УПСАЛА (Uppsala), город в Швеции.
ФОРМООБРАЗОВАНИЕ, образование грамматич. форм слова.
ФОТОТАКСИС (от фото... и греч. taxis - расположение).
ФУРКАЦИЯ (от позднелат. furcatus-разделённый).
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА, см. Дробная и целая части числа.
"ТЕЛЕВИДЕНИЕ И РАДИОВЕЩАНИЕ", ежемесячный литературно-критич. и теоретич. иллюстрированный журнал.
ЭЙРИ ФУНКЦИИ, функции Ai(z) и Bi(z).


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

8695912921652249431алам от рациональных функций (см. Интегральное исчисление). Предложены Л. Эйлером в 1768. Первая Э. п.
[2928-2.jpg]

применима, если а>0; вторая Э. п.
[2928-3.jpg]

применима, если c>0; третья Э. п.
[2928-4.jpg]

где L - один из корней трёхчлена ах2 + bх + с, применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств, приёмами, упрощающими вычисление. Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых ур-ний 2-й степени в рациональных числах.

ЭЙЛЕРА ПОСТОЯННАЯ, предел
[2928-5.jpg]

рассмотренный Л. Эйлером в 1740. Эйлер дал для С ряд представлений в форме рядов и интегралов; напр.,
[2928-6.jpg]

где E(s) - дзета-функция. Встречается в теории различных классов спец. функций, напр, гамма-функции. До сих пор неизвестно, является ли Э. п. иррациональным числом.

ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЕ, 1) дифференциальное уравнение вида
[2928-7.jpg]

где a0,..., an- постоянные числа; при x>0 уравнение (*) подстановкой x = е' Сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой х' = ах + b уравнение
[2928-8.jpg]

2) Дифференциальное уравнение вида
[2928-9.jpg]

где Х(х) = а0х4 + a1x3 + а2х2 + а3х + a4, Y (у) = а0 у4 + a1 у3 + а2уг + а3 у + a4. Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х, у) = 0, где F (х, у) - симметрич. многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптич. интегралов. 3) Дифференциальное уравнение вида
[2928-10.jpg]

служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла
[2928-11.jpg]

Выведено Л. Эйлером в 1744.

ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЯ, 1) в механике - динамич. и кинематич. ур-ния, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765. Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные ур-ния движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид
[2928-12.jpg]

где Ix, Iy, 1Z- моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wx, wy, wz- проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx, Мy, Mz - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; Mx, My, Mz - проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения wx, wy, wz через Эйлеровы углы U, Y, б и имеют вид
[2928-13.jpg]

Система ур-ний (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих па него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике - дифференциальные ур-ния движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность р, проекции скоростей частиц жидкости и, v, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат х, у, z точек пространства и времени i (переменные Эйлера), то

Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:
[2928-14.jpg]

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить и, v, w, p, p, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют ур-ние неразрывности в переменных Эйлера
[2928-15.jpg]

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м ур-нием будет ур-ние состояния р = U (p) (или p - const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц H. H., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., M., 1972, §14, 16: Л о и ц я н с к и и Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., M., 1973.

С. M. Торг.

ЭЙЛЕРА ФОРМУЛЫ в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером.

1) Э. ф., связывающие тригонометрич. функции с показательной (1743):
[2928-16.jpg]

2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):
[2928-17.jpg]

3) Тождество Эйлера о простых числах:
[2928-18.jpg]

где s = 1,2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах: (а2 + b2 + с2 + d2)(p2 + q2 + r2 + s2) = x2 + у2 +z2 + t2, где

х = ар + bq + cr + ds, у = aq - bp ± cs + dr, z = ar± bs - ср ± dq, t = as ± br + cq - dp.

5) Формула Эйлера о кривизнах (1760):
[2928-19.jpg]

Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R1и l/R2и угол фи между одним из главных направлений и данным направлением.

Эйлеру принадлежит также Эйлера- Маклорена формула суммирования, Эйлера-Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды.

Лит. см. при ст. Эйлер.

ЭЙЛЕРА ФУНКЦИЯ, число Y(a) натуральных чисел, меньших, чем а, и взаимно простых с а:
[2928-20.jpg]

где pi, ..., pk- простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760-61. Если числа a и b взаимно просты, то Y(ab) = Y(a) Y(b). При m> 1 и наибольшем общем делителе (а, m)= 1, а, т- взаимно просты, имеет место сравнение aY(m)=1 (mod m) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во MH. вопросах чисел теории.

ЭЙЛЕРА ЧИСЛА в математике, целые числа En, являющиеся коэффициентами при tn/n! в разложении функции 1/cht (CM. Гиперболические функции) в степенной ряд:
[2928-21.jpg]

Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (E+ 1)n + (E- I)n =0, n = 1,2,3,...,E0 =1 (после возведения в степень надо вместо Ek подставить Еk) и с Бернулли числами- соотношениями
[2928-22.jpg]

Встречаются в различных формулах матем. анализа.

ЭЙЛЕРА ЧИСЛО, один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой
[2928-23.jpg]

(иногда 2р/рv2 ), где р2, p1 - давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), pv2/2- скоростной напор, р - плотность жидкости или газа, v - скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерии наз. числом к-витации n =(2(p0-pn))/pv2 где p0- характерное давление, рn- давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/pv2 связано с др. критериями подобия - Маха числом M и отношением уд. теплоёмкостей среды y - формулой Eu = 2 /yM2, где y = cp/cv (cp- уд. теплоёмкость при постоянном давлении, cv- то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера.

ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА, формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:
[2928-24.jpg]

где Bv-Бернулли числа, Rn - остаточный член. Э.-M. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Напр., при
[2928-25.jpg]

Э. - M.ф. даёт следующее выражение:
[2928-26.jpg]

Э.-M. ф. была впервые приведена Л. Эйлером в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном (1742).

ЭЙЛЕРА-ФУРЬЕ ФОРМУЛЫ, формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрии, ряд (ряд Фурье). Э.-Ф. ф. названы по имени Л. Эйлера, давшего (1777) первый их вывод, и Ж. Фурье, систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрич. рядами при изучении задач теплопроводности. См. Фурье коэффициенты, Тригонометрический ряд.

ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА многогранника,число a0 - a1 +a2, где a0 - число вершин, а1- число рёбер и а 2- число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё P. Декарту). Э. х. произвольного комплекса есть число
[2928-27.jpg]

где n-размерность комплекса,a0 - число его вершин, a1 - число его рёбер, вообще ak есть число входящих в комплекс k-мерных симплексов. Оказывается,

что Э. х. равна
[2928-28.jpg]

(формула Эйлера-Пуанкаре), где пk есть k-мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология). Отсюда следует топологич. инвариантность Э. х. Ввиду топологич. инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).

Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, M.- Л., 1947; П о н тр я г и н Л. С., Основы комбинаторной топологии, 2 изд., M., 1976.

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ, интегралы вида
[2928-29.jpg]

(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730-31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и
[2928-30.jpg]