| 8695912 9216 5224 943 1ссии. Для каждого натурального k существует ф(k) характеров Дирихле ф(k) - Эйлера функция), причём если рассмотреть сумму чисел x(n) по всеп возможным характерам , отвечающим k, то она будет равна ф(k), если n при делении на k даёт остаток 1, в противном случае - равна О. При s>1 получается аналог тождества Эйлера:
[2911-11.jpg]
Ряд справа в этом равенстве называется рядом Дирихле. Изучая поведение таких рядов при s->1+0 Дирихле доказал свою теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметич. прогрессии.
Характеры Дирихле играют важную роль как в самой Ч. т., так и в др. разделах математики (алгебре, топологии и др.), а ряды Дирихле составляют большую главу в современной теории функций.
Новый подход к проблеме распределения простых чисел предложен П. Л. Чебышевым. Обозначим через л(Х) число простых чисел, не превосходящих X. Теорема Евклида утверждает, что л(Х)->+оо при X->+оо.
П. Jl. Чебышев доказал более точный закон стремления к бесконечности л(Х):
[2911-12.jpg]
где а>1/гlп2, b<2ln2, и утверждение, что если существует предел
[2911-13.jpg]
при Х->oо, то этот предел равен 1.П, Л. Чебышеву принадлежит и др. открытие в теории простых чисел. С помощью вычислений было замечено, что в интервале (X, 2X), Х>=2, лежит простое число; эту гипотезу назвали постулатом Бертрана. П. Л. Чебышев доказал (1852) эту гипотезу, причём он получил более точный результат, уменьшив длину рассматриваемого интервала. Тем самым вместе с вопросом о простых близнецах, т. е. о наименьшем значении разности pn+1 - pn, возник и стал решаться вопрос об оценке сверху этой разности.
Изучение неопределённых уравнений, и в первую очередь уравнения Ферма, привело к созданию нового раздела Ч. т. - теории алгебраических чисел. Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, пришел к равенству
[2911-14.jpg]где a1 ~ корни n-й степени из единицы. Рассматривая числа вида z+aiy, где z и у - целые, как "новые целые числа", Э. Куммер построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порождённого ai, т. е. множества чисел, к-рое получается из ai путём применения к нему всех четырёх арифметич. операций. Если бы в таком поле выполнялась теорема о единственности разложения целых чисел на простые сомножители, то тогда записанное выше равенство давало бы противоречие. Однако это не всегда так. Э. Куммер, чтобы сохранить справедливость этой теоремы, ввёл т. н. идеальные множители. Возник ряд проблем, решение к-рых привело к алгебраич. теории чисел с большим количеством новых понятий и результатов.
Вместе с изучением свойств целых чисел возникло и стало развиваться новое направление Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что корни квадратные из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную математич. формулировку после работ Ж. Лиуэилля (1844), к-рый ввёл понятия алгебра и ческих чисел н трансценденпгных чисел. Оказывается, алгебраич. числа "плохо" приближаются рациональными дробями. Ж. Лиувилль доказал, что если алгебраич. число является корнем уравнения степени п, то, приближаясь к нему дробями вида P/Q, где P u Q - целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе чем Q-nк нему нельзя (теорема Л н у в и л л я). Отсюда сразу следует существование бесконечного числа неалгебранч. чисел, к-рые стали называть трансцендентными.Однако вопрос об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел труден, и первыми были такие вопросы о классич. постоянных л и е. В кон. 19 - нач. 20 вв. Ч. т. продолжала развиваться по многим направлениям, причем для решения отдельных задач создавались общие методы, применимые к широкому кругу задач, иногда далеко удалённых от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений.
Теория алгебраич. чисел разделилась на два направления; одно изучает конкретные числа, доказывая их трансцендентность, другое изучает степень приближения алгебраич. чисел рациональными или алгебраическими. В первом направлении общие методы были созданы Ш. Эрмитпом (1873), доказавшим трансцендентность числа е, н нем. математиком Ф. Линдеманом (1882), доказавшим трансцендентность числа л и тем самым решившим задачу о квадратуре круга. Во втором - А. Туэ (1909) был предложен метод, с помощью к-рого он доказал, что в неравенстве Лиувилля к алгебраич. числу нельзя подойти существенно ближе чем Q-п/2. Следствием этого явилась теорема Туэ о конечности числа решений в целых числах х и у уравнения
[2911-15.jpg]
где a0, a1,..., an, A - целые числа, n>=3.
Дальнейшее изучение простых чисел привело к новому методу в Ч. т., связанному с функцией E(s). Б. Риман доказал, что дзета-функция E(s) аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного, является аналитической в каждой точке плоскости, за исключением s=1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1, удовлетворяет функциональному уравнению
[2911-16.jpg]
Г(s) - гамма-функция, и имеет бесконечно много нулей в полосе О <= Res=1 (эти нули называют нетривиальными, а полосу -критической). Он установил тесную связь между нетривиальными нулями Е(s) и асимптотич. поведением л(х). Изучение асимптотич. формулы для функции Чебышева
[2911-17.jpg]
где d(n)= lnp, если n=pkи d(n)=0, если n<>pk, эквивалентно такой же задаче для функции л(х). Функция Y(x) может быть выражена через интеграл от производящей функции -
[2911-18.jpg]
Б. Риман высказал гипотезу, что все нетривич альные нули E(s) лежат на прямой Res =1/2, из чего следует, что
[2911-19.jpg]
Из справедливости любой из последних формул следует гипотеза Римана. По аналогичной схеме были изучены L-ряды Дирихле, В 1896 Ш. Ла Балле Пуссен и Ж. Адамар доказали, что дзета(s)<>0 в области Res>=l, откуда следовала формула (асимптотический закон распределения простых чисел)
[2911-20.jpg]
Кроме этого, Ш. Ла Валле Пуссен доказал, что дзета(s)<>0 в области
[2911-21.jpg]
где с и c1 - положительные постоянные. Такой же результат был получен им и для простых чисел в арифметич. прогрессиях: если л(х, k, l) - число простых чисел вида kn+l, п<=х, k и l - взаимно простые числа, то
[2911-22.jpg]
Метод получения асимптотич. формул для л(х), Y(s), л(х, k, I), названный методом комплексного интегрирования, нашёл многочисленные применения. Основой этого метода служит формула
[2911-23.jpg]
Теория квадратичных форм, начатая работами Л. Эйлера, К. Гаусса, П. Дирихле, продолжала своё развитие в работах A. H. Коркина, E. И. Золотарёва и А. А. Маркова. В частности, A. H. Коркин и E. И, Золотарёв доказали теорему: переменным любой положительной кватернарной квадратичной формы определителя D можно придать такие целые значения, что значение формы не будет превосходить величины
(4D)1/4, и существуют такие формы, минимумы
к-рых равны (4D)1/4. Примером такой формы является следующая:
[2911-24.jpg]
Исследования А. А. Маркова относились к изучению минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя и привели к целому ряду новых открытий.
Проблемы целых точек в областях на плоскости получили своё дальнейшее развитие в трудах Г. Ф. Вороного, создавшего (1903) метод, с помощью к-рого доказано, что остаточный член в асимптотич. формуле Дирихле для числа целых точек под гиперболой имеет порядок корня кубического из главного члена. Позднее (1906) метод Вороного был перенесён В. Серпинъским на проблему Гаусса целых точек в круге с тем же результатом. В это же время были предприняты попытки найти решения аддитивных проблем Ч. т. и, в частности, решить Варинга проблему. В 1909 она была решена Д. Гильбертом.
Второе, третье и четвёртое десятилетия 20 в. были исключительно богаты новыми идеями и методами в Ч. т. Г. Вейлъ, решая задачи, связанные с устойчивостью Солнечной системы, пришёл к понятию равномерного распределения дробных долей целочисленных функций: дробные доли действительнозначной функции FOc) равномерно распределены на [0,1) при x= 1,2,3.,.., если число попаданий дробных долей F(x) на любой интервал из [0,1) пропорционально длине этого интервала. Он доказал, что для равномерности распределения дробных долей F(x) необходимо и достаточно выполнение соотношения:
[2911-25.jpg]
при любом фиксированном |m|>0, и получил нетривиальные оценки |S(F)| в случае, когда F(x) - многочлен, старший коэффициент к-рого есть иррациональное число. И. M. Виноградов, изучая распределение значений символа Лежандра на отрезках малой длины по сравнению с модулем, доказал (1914) неравенство
[2911-26.jpg]
из к-рого следует, что квадратичных вычетов и невычетов на любом отрезке, длина к-рого чуть больше (p)1/2 ln р, асимптотически поровну. Кроме того, он высказал гипотезу, что это будет верно при Х>рE, где E>0 - сколь угодно малое число. В 1917 И. M. Виноградов доказал, что число целых точек в области 0 |
