| 8695912 9216 5224 943 1транственной точке (дельта-r = О) и SAB = c (дельта-t), т. е. интервал равен промежутку времени между событиями в этой системе, умноженному на скорость света.
ЕслиS2AB<0, то интервал наз. пространственноподобным; в этом случае существует система отсчёта, в к-рой события происходят одновременно (дельта t = О) и расстояние между ними дельта r = isAB (где i =( - 1)1/2). При sAB = О интервал наз. нулевым; в этом случае дельта r = c(дельта-t) всегда, т. е. события в любой системе отсчёта могут быть связаны световым сигналом (см. Относительности теория).
В общей теории относительности, рассматривающей искривлённое пространство-время при наличии тяготения, всё сказанное об интервале справедливо для бесконечно близких событий (см. Тяготение). И. Д. Новиков.
2912.htm
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ, наука о целых числах. Понятие целого числа, а также арифметич. операций над числами известно с древних времён и является одной из первых матем. абстракций.
Особое место среди целых чисел, т. е. чисел ..., -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, ..., занимают натуральные числа - целые положительные числа 1, 2, 3,...- их свойства и операции над ними. Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на 2 класса: к 1-му классу относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, именно единицу и самого себя, ко 2-му - все остальные. Числа 1-го класса стали называть простыми, а 2-го - составными. Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучались Евклидом (3 в. до н. э.). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает: на первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню - 25, т. е. 25%, на тысячу - 168, т. е. ж 17%, на миллион - 78 498, т. е. == 8%, и т. д., однако их бесконечно много (Евклид).
Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между к-рыми равна двум (т. н. простые близнецы), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.
Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причём каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). T. о., простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда. Первыми задачами о простых числах были такие: как часто они расположены в натуральном ряде и как далеко они отстоят друг от друга. Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма (правила), позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является Эратосфена решето (3 в. до н. э.). Евклид в "Началах" указал способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел (Евклида алгоритм), следствием к-рого является теорема об однозначном разложении натуральных чисел на простые сомножители.
Вопрос о целочисленных решениях различного вида уравнений также восходит к древности. Простейшим уравнением в целых числах является линейное уравнение
[2911-1.jpg]
где а, b и с - попарно взаимно простые целые числа. С помощью алгоритма Евклида находится решение уравнения аХ + bY =1, из к-рого затем получаются все решения первоначального уравнения. Другим уравнением в целых числах является уравнение X2 + Y2 = Z2 (решение X = 3, Y = 4, Z = 5 связано с именем Пифагора), все целочисленные решения к-рого выписаны в "Началах" (кн. X, предложение 29)
X = г2 - q2Y = 2rq, Z = г2 + q2 где r и q - целые числа. Евклиду было известно также и уравнение аХ2 + 1 = = Y2, названное впоследствии Пелля уравнением. В "Началах" (кн. X, предложение 9) Евклид показал, как находить все его решения, исходя из наименьшего, для случая а = 1. Систематическое изложение теории известных к тому времени уравнений в целых числах дано Диофантом в его "Арифметике" (сер. 3 в. н. э.). Эта книга сыграла большую роль в дальнейшем развитии той части Ч. т., к-рая занимается решением уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями.
Следующий этап в развитии Ч. т. связан с именем П. Ферма, к-рому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Им была выдвинута гипотеза, получившая название Ферма великая теорема, и доказана теорема, известная как Ферма малая теорема, к-рая играет важную роль в теории сравнений и её позднейших обобщениях. Продолжая исследования Ферма по теории делимости чисел, Л. Эйлер доказал теорему, обобщающую малую теорему Ферма. Ему принадлежат также и первые доказательства великой теоремы Ферма для показателя n = 3.
К нач. 18 в. в науке о целых числах накопилось много фактов, позволивших создать стройные теории и общие методы решения задач Ч. т.
Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал создавать общие методы и применять др. разделы математики, в частности математический анализ, к решению задач Ч. т. Исследуя вопрос о числе решений линейных уравнений вида
[2911-2.jpg]
где a1, ...,an - натуральные числа, в целых неотрицат. числах X1, ..., Xn, Л. Эйлер построил производящую функцию Ф(z) от переменной z, коэффициенты к-рой при разложении по степеням z равняются числу решений указанного уравнения. Функция Ф(z) определяется как формальное произведение рядов
[2911-3.jpg]
т. е. Ф(z) = Ф1(z) ... Фk(z), каждый иг к-рых сходится при |z| < 1 и имеет достаточно простой вид, являясь суммой членов бесконечной геометрич. прогрессии:
[2911-4.jpg]
Следовательно,
[2911-5.jpg]
причем I(N) - число решении изучаемого уравнения. Метод производящих функций Эйлера послужил истоком кругового метода Харди-Литлвуда, далеко идущим развитием к-рого, в свою очередь, явился метод тригонометрических сумм И. M. Виноградова.
Другой проблемой Ч. т., стимулировавшей создание мощного метода, была проблема простых чисел. Л. Эйлер, доказывая теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел, рассмотрел произведение по всем простым числам р:
[2911-6.jpg]
при s > 1. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда 1/nsоткуда следует тождество Эйлера:
[2911-7.jpg]
Так как при s=1 ряд справа расходится (гармонический ряд), то из тождества Эйлера следует теорема Евклида. Эта идея Л. Эйлера легла в основу позднейших теорий дзета-функции. JI. Эйлеру и X. Гольдбаху принадлежат первые постановки аддитивных (т. е. связанных со сложением) задач с простыми числами. К сер. 19 в. в основном было построено здание Ч. т., что связано с именами К. Гаусса, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, П. Дирихле, П. Jl. Чебыгиева, Ж. Лиувилля, Э. Куммера.
К. Гаусс создаёт теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью к-рой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n+1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел. Кроме того, теория сравнений привела к важным понятиям теоретико-числового характера и тригонометрич. суммы. Простейшим характером является Лежандра символ.
К. Гаусс изучил свойства квадратичных вычетов и невычетов. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. к в а д р а т и чный закон взаимности, при доказательстве к-рого К. Гаусс рассмотрел конечные суммы вида
[2911-8.jpg]
Суммы такого вида и их обобщения стали называть тригонометрическими, т. к. в силу формулы Эйлера etф = cosф+-isinф они могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов.
К. Гаусс, а затем П. Дирихле, продолжая исследования Л. Эйлера, создали теорию квадратичных форм, другими словами,- теорию о представлении натуральных чисел формами вида ах2+2bху+су2, где a, b, с - целые числа.
К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X2+Y2<=R2 равно лR2 +O(R), а П. Дирихле, в свою очередь, доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой xy = N равно N(1nN+2С-1)+О(N)1/2, где С - Эйлера постоянная. Обобщения этих двух предложений, а также нахождение наилучших возможных остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы Ч. т.
Теоремы о бесконечности числа простых чисел в арифметич. прогрессиях частного вида, таких, как 4k ±1, 6k±l, были известны давно, однако только П. Дирихле удалось доказать общую теорему о бесконечности числа простых чисел в прогрессиях вида
[2911-9.jpg]
рде k (разность прогрессии) и l (первый её член) взаимно просты. Он рассмотрел аналог эйлерова произведения по всем простым числам вида
[2911-10.jpg]
где x(p) удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодическая x(n+k)=x(n) с периодом k, вполне мультипликативная, т. е. x(nm) =x(n)x(m) при любых целых nи т. Эту функцию назвали характером Дирихле. С помощью характеров Дирихле можно "вырезать" арифметич. прогре |
