| 8695912 9216 5224 943 1екуррентным соотношением:
(1 - x2) Un-1 (х) = хТn(х) - Tn+1 (х).
Лит.: Чебышев П. Л., Поли. собр. соч., т. 2 - 3, М. -Л., 1947 - 48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., M., 1962.
ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО, 1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей
a1<=a2<=...<=an и
b1<=b2<=...<=bnоно имеет вид:
[2903-3.jpg]
а в интегральной форме - вид:
[2903-4.jpg]
где f(x) >= 0, g(x) >= О и обе функции либо убывают, либо возрастают. Ч. н. установлено П. Л. Чебышевым (1882). 2) Неравенство, дающее оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математич. ожидания превзойдёт нек-рую заданную границу. Пусть e - какая-либо случайная величина, Ee = а - её математич. ожидание, а De= g2 - её дисперсия. Тогда Ч. н. утверждает, что вероятность неравенстване | e-a|>=kg не превосходит величины 1/k2. Если e - сумма независимых случайных величин, то при нек-рых дополнит, ограничениях оценка l/k2 может быть заменена оценкой 2e-k2/4, убывающей с ростом k значительно быстрее.
Своё название Ч. н. получило по имени П. Л. Чебышева, который с его помощью установил (1867) весьма широкие условия приложимости закона больших чисел к суммам независимых случайных величин. См. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей.
ЧЕБЫШЕВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, шарнирный механизм, предложенный П. Л. Чебышевым в 1868 для воспроизведения движения нек-рой точки механизма по прямой линии. Ч. п. представляет собой плоский шарнирный четырёхзвен-ник ABCD (рис.), наз. также прямолинейно-направляющим механизмом, в к-ром длины звеньев удовлетворяют соотношению 3d - а = 2b. Длина приближённо-прямолинейного участка траектории точки M становится больше с увеличением AB, но одновременно возрастает и отклонение от прямолинейности. Ч. п., показанный на рис. сплошными линиями, в ср. положении напоминает греч. букву лямбда и наз. поэтому лямбдо-образным. Чебышев указал также др. модификацию этого механизма АB1C1D1, показанную штриховой линией. В этой модификации, наз. перекрёстной, траектория точки M совпадает с траекторией той же точки в лямбдо-образном механизме, а длины звеньев связаны соотношениями: AB1 = C1D1= 2b, B1C1 = 2а, B1M = a, АD1 =2d. Известен также Ч. п., в к-ром угол между линиями CB и CM отличается от 180°. Ч. п. применяется в приборах для получения прямолинейного движения точки без направляющих.
Чебышева параллелограмм.
Лит.: Чебышев П. Л., Об одном механизме, Поли. собр. соч., т. 4, М. -Л., 1948. Н. И. Левитский.
ЧЕБЫШЕВА ФОРМУЛА, формула для приближённого вычисления определённого интеграла:
[2903-5.jpg]
точная для многочленов степени не выше и - 1, где n - число узлов интерполяции. Значения xi в Ч. ф. для некоторых и вычислены. Например, для n = 9: x1= - х9 = 0,911589; x2 = -х8 = 0,601019; x3 = - x7 = 0,528762; x4 =-x6= 0,167906; x5 = 0. При n=8 и n > 9 абсциссы xiимеют комплексные значения, поэтому Ч. ф. применима только для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,9. Ч. ф. установлена П. Л. Чебышевым (1873).
2906.htm
ЧЕРЕНКОВА-ВАВИЛОВА ИЗЛУЧЕНИЕ, Черенкова - Вавилова эффект, излучение света электрически заряженной частицей, возникающее при её движений в среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в этой среде (скорость распространения световых волн). Обнаружено в 1934 П. А. Черенковым при исследовании гамма-люминесценции растворов как слабое голубое свечение жидкостей под действием гамма-лучей. Уже первые эксперименты Черенкова, предпринятые по инициативе С. И. Вавилова, выявили ряд характерных особенностей излучения: свечение наблюдается у всех чистых прозрачных жидкостей, причём яркость мало зависит от их хим. состава, излучение имеет поляризацию с преимуществ, ориентацией электрич. вектора вдоль направления первичного пучка, при этом в отличие от люминесценции не наблюдается ни температурного, ни примесного тушения (см. Тушение люминесценции). На основании этих данных Вавиловым было сделано основополагающее утверждение, что обнаруженное явление - не люминесценция жидкости, а свет излучают движущиеся в ней быстрые электроны (такие электроны возникают под действием гамма-лучей в результате Комптона эффекта). Поэтому правильнее называть это явление излучением (эффектом) Вавилова - Черенкова в отличие от принятого, особенно в зарубежной литературе, названия "эффект Черенкова". Ч.- В. и. характерно и для твёрдых тел.
Различные виды свечения, вызываемого гамма-лучами, наблюдались после открытия радия неоднократно, в частности, свечение жидкостей под действием гамма-лучей исследовалось (1926-29) франц. учёным M. Л. Малле, получившим фотографии его спектра. Однако доказательств того, что это явление новое, не было, не установлено было и наиболее характерное свойство излучения (обнаруженное Черенковым в 1936) - его направленность под острым углом к скорости частицы.
Механизм явления был выяснен в работе И. E. Тамма и И. M. Франка (1937), содержавшей и количеств. теорию, осн. на уравнениях классич. электродинамики. К тем же результатам привело и квантовое рассмотрение (В. Л. Гинзбург, 1940).
Условие возникновения Ч.- В. и. и его направленность могут быть пояснены с помощью Гюйгенса - Френеля принципа. Для этого каждую точку траектории заряженной частицы (напр., А,В, С, D, рис. 1 и 2) следует считать источником волны, возникающей в момент прохождения через неё заряда.
Рис. 1. Движение заряженной частицы в среде со скоростью v < и, Сферы 1,2,3,4 - положение парциальных волн, испущенных частицей из точек A,B,C,D, соответственно.
В оптически изотропной среде такие парциальные волны будут сферическими, т. к. они распространяются во все стороны с одинаковой скоростью и = с/n (здесь с - скорость света в вакууме, a n - показатель преломления света данной среды). Допустим, что частица, двигаясь со скоростью v, в момент наблюдения находилась в точке E. За (секунд до этого она проходила через точку А (расстояние до неё от E равно vt). Следовательно, волна, испущенная из Л, к моменту наблюдения представится сферой радиуса R = ut (на рис. 1 и 2 ей соответствует окружность1). Из точек В, С, D свет был испущен во всё более и более поздние моменты времени, и волны из них представляют окружности 2, 3, 4. По принципу Гюйгенса парциальные волны гасят друг друга в результате интерференции всюду, за исключением их общей огибающей, которой соответствует волновая поверхность света, распространяющегося в среде.
Пусть скорость частицы vменьше скорости света и в среде (рис. 1). Тогда свет, распространяющийся вперёд, будет обгонять частицу на тем большее расстояние, чем раньше он испущен. Общей огибающей парциальные волны при этом не имеют - все окружности 1,2, 3, 4 лежат одна внутри другой. Это соответствует тому очевидному факту, что электрич. заряд при равномерном и прямолинейном движении со скоростью, меньшей скорости света в среде, не должен излучать свет. Однако положение иное, если v > и = с/n, или Bп > 1 (1) (где B = v/с), т. е. если частица движется быстрее световых волн. Соответствующие им сферы пересекаются (рис. 2). Их общая огибающая (волновая поверхность) - конус с вершиной в точке E, совпадающей с мгновенным положением частицы, а нормали к образующим конуса определяют волновые векторы (т. е. направление распространения света).
Рис. 2. Движение заряженной частицы в среде со скоростью v > u. Угол Q указывает направление возникающего излучения.
Угол, к-рый составляет волновой вектор с направлением движения частицы (см. рис. 2), удовлетворяет соотношению: cos Q = u/v = c/nv = 1/Bn. (2)
Такой же метод рассмотрения можно провести и для оптически анизотропных сред. При этом нужно учитывать, что скорость света в этой среде зависит от направления его распространения, поэтому парциальные волны не являются сферами. В этом случае обыкновенному и необыкновенному лучам будут соответствовать разные конусы и излучение будет возникать под разными углами 0 к направлению распространения частицы согласно соотношению (2). Условие (1) для оптически анизотропных сред формулируется несколько иначе. Во всех случаях осн. формулы теории хорошо согласуются с опытом.
Теория показала, что в оптически изотропной среде частица с зарядом е, прошедшая расстояние в 1 см со скоростью v > и, излучает энергию:
[2904-1.jpg]
(w = 2 nc/A - циклическая частота света, A - длина волны излучаемого света в вакууме). Подынтегральное выражение определяет распределение энергии в спектре Ч.- В. и., а область интегрирования ограничена условием (1).
Ч.- В. и. возникает при движении не только электрона в среде, но и любойзаряженной частицы, если для неё выполняется условие (1). Для электронов в жидкостях и твёрдых телах условие (1) начинает выполняться уже при энергиях ~ 105 эв (такие энергии имеют MH. электроны радиоактивных процессов). Более тяжёлые частицы должны обладать большей энергией, напр. протон, масса к-рого в ~2000 раз больше электронной, для достижения необходимой скорости должен обладать эне |
