| 8695912 9216 5224 943 1р.) и оказали воздействие на развитие франц. утопич. социализма (К. Пеккёр, Ф. Видаль, П. А. Леру, П. Ж. Прудон). В 30-40-х гг. влияние идей Ф. испытала ранняя со-циалистич. мысль в Англии (Хью Дохер-ти и др.), Германии (В. Вейтлинг, М. Гесс и др.), Италии (Б. Дж. Муре, С. Савини), Испании, где фурьеристы были также первыми проводниками социалистич. идей (X. С. Абреу и др.), и в др. странах Европы. В Сев. Америке влияние Ф. на развитие прогрессивных социальных идей было столь значительным, что 30-40-е гг. 19 в. называют "фурьеристским периодом" истории социализма в Америке (А. Брисбен, П. Годвин, X. Грили и др.). Было создано более 40 фурье-ристских колоний (Брукфарм и др.).
В России идеи Ф. уже в 1-й четв. 19 в. стали известны нек-рым из декабристов и близким к ним представителям интеллигенции. В 30-40-х гг. учением Ф. интересовались А. И. Герцен, Н. П. Огарёв. Выдающимися приверженцами Ф. были М. В. Петрашевский и петрашевцы. Идеи Ф. отразились в произв. Ф. М. Достоевского, М. Е. Салтыкова-Щедрина, Н. Г. Чернышевского и др. (см. также ст. Утопический социализм).
С о ч.: CEuvres completes, v. 1-6, P., 1841-1870; CEuvres completes, v. 1-11, P., 1966-67; в рус. пер. - Избр. соч., т. 1-4, М. - Л., 1951-54.
Лит.: Бебель А., Ш. Фурье, пер. с нем., М., 1923; Дворцов А. Т., Шарль Фурье. Его жизнь и учение, М., 1938; И о а н н и-с я н А. Р., Шарль Фурье, М., 1958; 3 и л ь* берфарб И. И., Социальная философия Шарля Фурье и её место в истории социалистической мысли первой половины XIX в., М., 1964 (лит.); А г m a n d F., Fourier, v. 1 -2, P., 1937. И. И. Зилъберфарб.
ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ, формула для разложения непериодич. функции на гар-монич. компоненты, частоты к-рых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f(x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если сходится
[2811-3.jpg]
[2811-4.jpg]
(простой интеграл Фурье).
Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы), то во мн. случаях их можно просуммировать к f(x) при помощи того или иного метода суммирования. При решении мн. задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.
Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. -Л., 1948.
ФУРЬЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ, коэффициенты
[2811-5.jpg]
разложения функции f(*), имеющей период IT, в ряд Фурье (см. Фурье ряд). Формулы ( " ) называют формулами Эйлера _ фурье. Непрерывная функция f(x) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f(x) стремятся к нулю при
[2811-6.jpg]
ФУРЬЕ МЕТОД, метод решения задач математич. физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение ур-ния, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд, Фурье интеграл) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Напр., изучение малых колебаний струны длины l, имеющей закреплённые концы, сво-
[2811-7.jpg]
оудет решением поставленной задачи. Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решён В. А. Стекловым.
ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f(x) формулой:
[2811-8.jpg]
Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., к-рая во мн. случаях проще соответствующей
[2811-9.jpg]
(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физич. смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии нек-рого колебания сумме энергий его гармонич. компонент.
[2811-10.jpg]
Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [напр., для функций f(x) таких,
[2811-11.jpg]
определяется формулой (У)], и даже на нек-рые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).
Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода спец. функции, напр. Бесселя функции; это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп. Другим является т. н. преобразование Ф у р ь е-С тилтьеса, широко применяемое, напр., в теории вероятностей; оно определяется для произвольной огра-
[2811-12.jpg]
(теорема Б о х н е р а-X и н ч и н а). Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (напр., при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории спец. функций и т. д.), так ив различных разделах теоре-тич. физики. Напр., Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т. д.
Лит.: С н е д д о н И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.
ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, служащий для разложения периодич. функции на гармонич. компоненты. Если функция f(x) имеет период 2Т, то её Ф. р. имеет вид
[2811-13.jpg]
циенты. а зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье-Римана, Фурье-Лебега и т. д. Обычно рассматривают 2л>периодиче-ские функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Ф. р. представляют собой простейший Класс разложений по ортогональной системе функций, а именно - по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2х, sin 1x, ..., cos nx, sin nx, ..., к-рая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (сум м ы Фурье)
[2811-14.jpg]
так что функции f(x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).
Для любой интегрируемой функции f(x) коэффициенты Фурье ап, при
[2811-15.jpg]
Один из вариантов этой формулы был впервые указан франц. математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для
[2811-16.jpg]
с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (нем. математик Э. Фишер, венг. математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна. Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Напр., если функция f(x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f(x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), тоеёФ. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f(x) непрерывна (К. Жордан). Если f(x) непрерывна и её модуль непрерыв-
[2811-17.jpg]
мерно сходится (итал. математик У. Дини, 1880).
Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в нек-рой точке ха зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке Хо функция f(x) имеет разрыв первого рода, т. е. существуют различные пределы f(xt,-0) и f(x0+ 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке .то, то он сходится к значению 1/2{f (xо-0) + f(Xo + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодич. функции f(x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f(x).
Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. к-рых расходятся в бесконечном числе точек (нем. математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. к-рых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат веоен и для функ-
[2811-18.jpg]
"дефекты сходимости" породили м е-тоды суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение к-рых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Напр., для любой непрерывной периодич. функции fix) сумма Ф е и е о а
[2811-19.jpg]
лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Б а р и Н. К., Тригонометрически |
