| 8695912 9216 5224 943 1я собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление - т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологич. методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т. п. Топологич. методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шауде-ром, франц. математиком Ж. Лере, сов. математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения к-рых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В кон. 30-х гг. в работах япон. математика М. Нагумо, сов. математиков И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (совр. назв.- банаховы алгебры), в к-рой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём IIxyII<=IIxII IIyII). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве X (умножение в нём - последовательное применение операторов -необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, напр. С(Т) с обычным умножением, L1(IR) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их - класс т. н. групповых алгебр (топологич. группы G), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.
[2810-28.jpg]
[2810-29.jpg]
смотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получается представление коммутативного кольца операторов в гильбертовом пространстве. Другие более общие примеры приведены ниже.
Наиболее полно развита теория линейных представлений топологич. групп (в т. ч. конечных). Линейным представлением (топологич.) группы G наэ. гомомор-
[2810-30.jpg]
ется представление кольца и алгеоры, в частности банаховой алгебры; здесь требуется дополнительно, чтобы линейная структура 21 соответствовала линейной структуре кольца
[2810-31.jpg]
где А - самосопряжённый оператор (теорема Стоуна); оператор А наз. инфиннтези-мальным оператором (генераторе м) группы {Тх}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классич. механики. Эта связь, а также приложения в ста-тистич. физике лежат в основе обширной ветви Ф. а.- эргодической теории. Связь между однопараметрич. группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы Т не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых н более_ общих пространствах и даже быть определёнными лишь для Х>0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.: Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; А х и е з е р Н. И., Г л а з-м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; В у л и х Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Б а-н а х С. С., Курс функвдонального анализу, Киев, 1948; Рисе Ф., Секефальви-Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., А к и-л о в Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрей-к о П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Н а и м а р к М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Р у д и н У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; Д а н-Ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1 - 3, М., 1962 - 74; X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М„ 1962; Эдварде Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
ФУНКЦИОНАЛЫНЫЙ АНАЛИЗ (хим.), совокупность хим. и физ. методов анализа (гл. обр. органич. веществ), основанных на определении в молекулах реакционноспособных групп атомов (отд. атомов) - т. н. функциональных групп. Такими группами являются, напр., гидроксильная(-ОН), карбоксиль-
[2810-32.jpg]
аминогруппа (.-NH2) и др. Ф. а. служит для подтверждения предполагаемого-строения вещества или механизма реакции, для установления процентного содержания в смеси отдельных соединений известного строения. В хим. методах используются характерные реакции функциональных групп, напр, образование окрашенного комплекса при взаимодействии спиртов с гексанитратоцера-
[2810-33.jpg]
новление нитрогруппы в аминогруппу, к-рая легко идентифицируется. Многие функциональные группы могут быть обнаружены и количественно оценены также методами ядерного магнитного резонанса, масс-спектрометрии, инфракрасной (ИК) спектроскопии; напр., по специально разработанным диаграммам поглощения ИК излучения функциональными группами (карты Колтгепа) осуществляется идентификация последних, а по интенсивности поглощения производится оценка количественного их содержания.
Лит.: Бобранский Б., Количественный анализ органических соединений, пер. с польск., М., 1961; Терентьев А. П., Органический анализ. Избр. труды, М., 1966; Черонис Н. Д., Ма Т. С., Микро-и полу-микрометоды органического функционального анализа, пер. с англ., М., 1973; Климова В. А., Основные микрометоды анализа органических соединений, М., 1975.
Ю. А. Клячко,
"ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ", научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967. Ежегодно выходит 1 том, состоящий из 4 выпусков. Тираж (1977) ок. 1500 экз.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, определитель, элементами к-рого являются функции одного или многих переменных. Наиболее важные примеры Ф. о.-вронскиан, играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений высшего порядка, гессиан, применяемый в теории алгебраич. кривых, и якобиан, используемый при преобразовании кратных интегралов, установлении независимости системы функций и др. вопросах теории функ-дий многих переменных. Производная Ф. о. D(х) = Iatk (x)In-го порядка равна сумме п Ф. о., матрицы к-рых получаются из матрицы IIaik (х)II соответственно дифференцированием элементов первого, второго,..., n-го столбца. Напр., если
[2810-34.jpg]
Иногда термин "Ф. о."применяется для обозначения якобиана.
ФУНКЦИЯ (от лат. functio - совершение, исполнение) (филос.), отношение двух (группы) объектов, в к-ром изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных, неблагоприятных - дисфункциональных или нейтральных -афункциональных), вызываемых изменением одного параметра в др. параметрах объекта (функциональность), или взаимосвязи отд. частей в рамках некоторого целого (функционирование).
Понятие Ф. введено в науч. оборот Г. Лейбницем. В дальнейшем в философии интерес к Ф. как одной из фундаментальных категорий возрастал по мере распространения в различных областях науки функциональных методов исследования. В наиболее развёрнутой форме функциональный подход был реализован Э. Кассирером, к-рый разработал теорию понятий, или "функций". Эта попытка построения теории познания на основе функционального подхода оказала определённое влияние на филос. представления о Ф. Исследуются проблемы обоснованности, приемлемости и доказательности функциональных высказываний и объяснений, широко используемых в биологич. и социальных науках, особенно в связи с изучением целенаправленных систем. См. также статьи Система, Системный подход и лит. при них.
Лит.: Касс и pep Э., Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции, СПБ, 1912; Юдин Б. Г., Системные представления в функциональном подходе, в сб.: Системные исследования. Ежегодник 1973, М., 1973, с. 108-26; F г е-g e G., Funktion und Begriff, Jena, 1891; Wright L., Functions, "Philosophical Review", 1973, v. 82, April, p. 139-68; Cummins R., Functional analysis, "The Journal of Philosophy", 1975, v. 72, Mb 20. Б. Г. Юдин. Функция в социологии. 1) Роль, к-рую определённый социальный институт или частный социальный процесс выполняет относительно потребностей обществ, системы более высокого уровня организации или интересов со |
