| 8695912 9216 5224 943 1 тематика, посвящённая выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, напр, выпуклых, компактных и т. д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно li) представителей в том или ином классе пространств и т. п.
Большой раздел Ф. а. посвящён детальному изучению конкретных пространств, т. к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример - теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство
[2810-12.jpg]
страняется на все производные ?)а до порядка <2. В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения.
В связи с запросами матем. физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них:
[2810-13.jpg]
гильбертовых пространств Н, - конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1);
факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве X задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (х, х) = 0 для х ф 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения X относительно (...) после предварительного отождествления с 0 векторов х, для к-рых (х, х) =0;
[2810-14.jpg]
линейные отображения обычно наз. л и-нейными операторами. В случае конечномерных X, У структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в X и У, то
[2810-15.jpg]
где.Г!,..., Хп и (Ax)i,..., (Ах)п - координаты векторов л: и Ах соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологич. пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2(a,b) в него же оператор
[2810-16.jpg]
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор А:Х-"У, где X,Y - банаховы пространства, характеризуется тем, что
[2810-17.jpg]
[2810-18.jpg]
ным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геом. вопросов для множеств из X', напр, установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейн а-М и л ь м а н а).
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, напр. (lp)', р > 1. состоит из (функций вида
[2810-19.jpg]
Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классич. анализа. Так, напр., при фиксированных to и т на пространстве
[2810-20.jpg]
функциями (распределениями). Обобщенные функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D (IR) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки прост-
[2810-21.jpg]
оертово пространство, а Ф. - линейное то-пологич. (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, напр.
Ф = W2(Т).
Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, 6] из пространства С1[а, b], снабжённого нормой \\x\\ =
[2810-22.jpg]
гих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнение вида Сх=у, где С-нек-рый оператор, у принадлежитY - заданый, а х принадлежит X - искомый вектор. Напр., если X=Y=L2 (a, b) C=E-A, где A оператор из (2), а E - тождественныи оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т. п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из X в множество из У, замыкание к-рого компактно [таков, напр., оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения х - Ах = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах матем. физики возникает т. н. задача на собственные значения: для нек-рого оператора А : X -> X требуется выяснить возможность нахождения решения ф не = 0 (собственного вектора) уравнения Аф = Хф при нек-ром X принадлеж. С (соответствующем собственном значении). Действие А на собственный вектор особенно просто - оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, напр., собственные векторы оператора А образуют базис ej, j принадлеж. Z, пространства X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А становится особенно наглядным:
[2810-24.jpg]
где Х;-- собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного X вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в X нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор Sp А собственных значений в этом случае наз. спектром А. Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K(t, s) = K(s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]
[2810-25.jpg]
[2810-26.jpg]
гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, напр., вопросы полноты собственных н присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, напр., для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н -> Н наз. с а-мосопряжённым, если (Ах, у)= = (д:, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н м-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А', другими словами, имеют место разложения:
[2810-27.jpg]
ядерно, причём А переводит Ф в Ф' и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по нек-рой скалярной мере, а Е(Х) теперь "проектирует" Ф в Ф', давая векторы из Ф', к-рые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением X. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторо_в (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Напр., они верны для унитарных операторов U -таких ограниченных операторов, к-рые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp U расположен на окружности |z| = 1, вдоль к-рой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектралъныq анализ линейных операторов.
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение прост--ранства в С (или в IR) наз. функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т. д. аналогично соответствующим понятиям классич. анализа. Выделение из отображения квадратичного и т, д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка х наз. неподвижной для отображения F, если Fx = х). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскани |
