| 8695912 9216 5224 943 1дставлена функцией тоники (обозначение Т). По тонике, устою, определяется центр лада. Неустойчивых функций две - доминанта (D) и субдоминанта (S). Аккорды доминанты и субдоминанты строятся на звуках, находящихся в отношении наивысшего акустич. родства к осн. звуку тоники и лежащих квинтой выше (D) и квинтой ниже (S). Отсюда логич. противоположность функций D и S, усиливающаяся контрастом их звукового состава. Образующийся между осн. звуком S и терцией D (вводным тоном лада) интервал тритона делает их тяготение к приме и терции тоники особенно сильным. Действие гармонич. функций наиболее ярко проявляется в каденциях. Предпосылки теории гармонич. функций содержатся в работах Ж. Ф. Рамо, М. Гауптмана, А. Эттингена. Идея "групп" Т, D и S разработана Н. А. Римским-Кор-саковым в его "Учебнике гармонии". Функциональную теорию гармонии в развитом её виде выдвинул в кон. 19 в.
X. Риман. По Риману, все аккорды лада возникают как трансформации лишь трёх гармоний - тоники, доминанты и субдоминанты. Оригинальную концепцию Ф. л. ("моментов" тяготения) создал сов. теоретик Б. Л. Яворский. Важный вклад в развитие теории внёс сов. музыковед Ю. Н. Тюлин. Теория гармонич. функций наиболее применима к анализу гармонии в музыке сер. 18 - нач. 20 вв.
Лит.: Риман Г., Упрошенная гармония или учение о тональных функциях аккордов, пер. с нем., М., 1901;
К а т у а р Г. Д., Теоретический курс гармонии, ч. 1-2, М., 1924-25; Тюлин Ю. Н., Учение о гармонии, 3 изд., ч. 1, М., 1966; С п о с о-6 и я VI. В., Лекции по курсу гармонии, М., 1969; I m i g R., Systeme der Funktionsbe-zeichnung in den Harmonielehren seit Hugo Riemann, Dusseldorf, 1970. Ю. Н. Холопов.
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА, функции, сопоставляющие каждому множеству из нек-рого класса множеств определённое число. Напр., длина отрезка является Ф. м., определённой на классе всех отрезков на прямой (функцией отрезка).
Интеграл fф(x)dx при заданной интегрируемой функции Ф(х) также является функцией отрезка - интервала интегрирования [а, b]. Рассматривают также функции от областей на плоскости или в пространстве. Напр., при заданном распределении плотностей масса, заключённая в данной области О, является функцией этой области. Понятие функции области - более гибкий аппарат для описания физич. явлений, чем понятие функции точки, т. к. позволяет учитывать случаи, когда плотность физич. величин в отд. точках бесконечна (точечные источники и т. д.). Кроме того, это понятие более отвечает условиям физич. эксперимента (при к-ром наблюдается не функция точки, а среднее от этой функции по нек-рой малой области).
Понятие Ф. м. получило развитие в связи с построением теории интеграла Лебега, в к-рой приходится рассматривать не только функции от областей, но и функции от произвольных измеримых множеств. Одним из первых примеров такой Ф. м. является мера Лебега ц (Е) измеримого множества Е (см. Мера множества). Эта Ф. м. вполне аддитивна, т. е. мера суммы любой конечной или счётной совокупности непересекающихся измеримых множеств есть сумма мер этих множеств. Наряду с лебеговской мерой множеств рассматривают др. меры, являющиеся неотрицательными вполне аддитивными Ф. м., определёнными на соответствующем классе множеств. Такие Ф. м. встречаются в общей теории интеграла. Ф. м. f(E) называют абсолютно непрерывной относительно нек-рой меры ц, если f(E) = 0 при ц(Е) = 0.
Так, интеграл Лебега nри заданной суммируемой функции (р(х) по множеству М является вполне аддитивной абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) функцией от М. Обратно, всякая вполне аддитивная абсолютно непрерывная Ф. м. может быть представлена в качестве интеграла Лебега от нек-рой суммируемой функции (р(х). Важным примером Ф. м. являются распределения вероятностей.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; X а л м о ш П., Теория меры, пер. с англ., М.. 1953.
ФУНКЦИИ СПЕЦИАЛЬНЫЕ, см. Специальные функции.
ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ, см. Элементарные функции.
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ, раздел математики, в к-ром изучаются общие свойства функций. Ф. т. распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного.
В "классическом" матем. анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции, заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со 2-й пол. 19 в. развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематич. изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа - предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классич. средств, как тригонометрич. ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т. п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физич. задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом обобщить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения (см. Обобщённые функции) и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Ф. т. действительного переменного.
Отдельные частные факты Ф. т. действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т. п.). Однако эти факты воспринимались обычно как "исключения из правил" и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в нач. 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств теории, стала развиваться систематически современная Ф. т. действительного переменного.
Можно различить три направления в Ф. т. действительного переменного.
1) Метрич. Ф. т., где свойства функций изучаются при помощи меры (см. Мера множества) тех множеств, на к-рых эти свойства имеют место. В метрич. Ф. т. с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл, Дифференциал, Производная), различными способами обобщается понятие сходимости функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т. п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрич. Ф. т., являются измеримые функции.
2) Дескриптивная Ф. т., в к-рой основным объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация).
3) Конструктивная Ф. т., изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих ана-литич. средств (см. Приближение и интерполирование функций).
О Ф. т. комплексного переменного см. Аналитические функции.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. -Л., 1948; Колмогорова. Н.,
Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
ФУНКЦИОНАЛ, матем. понятие, первоначально возникшее в вариационном исчислении и означающее там переменную величину, зависящую от функции (линии) или от нескольких функций. Примерами Ф. являются площадь, ограниченная замкнутой кривой заданной длины, работа силового поля вдоль того или иного пути и т. д. С развитием функционального анализа термин "Ф." стал пониматься в более широком смысле, а именно: как числовая функция, определённая на нек-ром линейном пространстве. См. Функциональный анализ.
ФУНКЦИОНАЛИЗМ, направление в зарубежном зодчестве 20 в., основанное на утверждении первичности функции (утилнтарно-практич. назначения) произведения архитектуры по отношению к его форме.
Во 2-й пол. 19 в. принцип целесообразной формы, соединённой с этич. принципом правдивости выражения назначения и конструкции здания, был противопоставлен эклектизму, выявившему характерное для бурж. культуры расщепление эстетич. и утилитарного начал (на что указывали, в частности, англ, критик Дж. Рескин и англ, писатель, теоретик и дизайнер У. Моррис). Идеи целесообразной архитектуры развивались под влиянием теорий ес-теств. наук (прежде всего эволюционной теории Ч. Дарвина). Природа стала рассматриваться как источник образцов совершенного приспособления формы к её назначению (амер. скульптор и теоретик иск-ва X. Гриноу и др.).
Систему идей амер. "протофункциона-лизма" кон. 19 в. завершил арх. Л. Г. Салливен. В США эти идеи не получили непосредств. продолжения; лишь Ф. Л. Райт развивал на их основе теорию органической архитектуры.
Выдвинутая Салливеном формула "форму определяет функция" в сер. 1920-х гг. была подхвачена зап.-европ. архитекторами, сторонниками рационализма, полемически упростившими её содержание, сведя его к первичности утилитарного по отношению к эстетическому. Основанные на этой формуле принципы функциональности разрабатывались и пропагандировались Ле Корбюзье во Франции, а наиболее после |
