| 8695912 9216 5224 943 1ость на области, заполненные траекториями разных типов. Ф. п. м. состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета. Метод позволяет определить число, типы и характер особых точек, изолированных замкнутых траекторий и сепаратрис и даёт возможность по виду фазовых траекторий
наглядно представить всю совокупность движений, возникающих в динамич. системе при всевозможных нач. условиях. Особые точки классифицируют по характеру фазовых траекторий в их окрестности; осн. типы особых точек изображены на рис. 1. Изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) классифицируют по характеру их устойчивости (рис. 2).
В сочетании с аналитич. методами Ф. п. м. позволяет получать количеств. оценки решений дифференциальных ур-ний, описывающих динамич. систему, напр. оценивать длительность перехода изображающей точки из одного состояния в другое (т. е. продолжительность переходного процесса), определять период и "амплитуду" периодич. движения и т. п. Теоретич. основы Ф. п. м. разработаны А. Пуанкаре. Ф. п. м.- один из методов качеств. теории динамич. систем; он широко используется в теории колебаний, теории автоматич. управления, в электротехнике и механике.
Лит.: Пуанкаре А. О., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. - Л., 1947; Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. - Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; Емельянов С. В., Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967; Марчуков Б. А.,
Проектирование систем управления методами фазовой плоскости, М., 1976. С. К. Коровин, Н. Н. Миловидов.
2716.htm
ФАКТОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ, в фотометрии величина, определяющая геометрию пучка излучения. Ф. г. G зависит только от размеров и взаимного расположения диафрагм (см. Диафрагма в оптике), совместно выделяющих в пространстве из всех возможных прямых такое множество направлений, к-рое определяет луч или, при конечных размерах области, занятой излучением,- пучок этого излучения. Ф. г. одинаков для всех поверхностей, пересекаемых прямыми, входящими в данное множество (инвариантен относительно них), и принимается за меру этого множества (см. Мера множества). Для сопряжённых нач. и конечной диафрагм Аи и Ап оптич. системы, например
где d2G - второй дифференциал от Ф. г., dAИ и dAП - площади сопряжённых участков диафрагм или источника и приёмника; Ои и Оп - углы между направлением излучения и перпендикулярами к излучающей и освещаемой поверхностям; заполненные излучением телесные углы со стороны Аи и Ап. Инвариантность Ф. г. сохраняется и для широких световых пучков. Ф. г. используют для построения систем фотометрических величин: так, яркость вдоль луча L = d2 Ф/d2G, где Ф - или световой поток, или поток излучения. Понятие о мере множества лучей было впервые введено сов. учёным А. А. Гершуном в 30-х гг. 20 в.
Лит.: Гершун А. А., Мера множества лучей, "Труды Государственного оптического ин-та", 1941, т. 14, в. 112 - 20; Теrriеn J., Desvignes F., La photometric, P., 1972. А. А. Волъкенштейн.
ФАКТОРГРУППА (матем.), группа, элементами к-рой являются нек-рые совокупности элементов другой группы G, а именно: классы смежности G по нормальному делителю Н.
ФАКТОРИАЛ (англ. factorial, от factor-сомножитель) (матем.), произведение натуральных чисел от единицы до к.-л. данного натурального числа п, то есть l*2*...*n; обозначается n!. При больших п приближённое выражение Ф. даётся Стирлинга формулой. Ф. равен числу перестановок из п элементов.
ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, раздел статистического анализа многомерного, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетич. ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин - результатов наблюдений X1,..., Хп общей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:
где случайные величины fjсуть общие факторы, случайные величины Ui суть факторы, специфические для величин Xi и не коррелированные с fj, a ei суть случайные ошибки. Предполагается, что k < п задано, случайные величины ei независимы между собой и с величинами fjи Ui и имеют
Постоянные коэффициенты аij наз. факторными нагрузками (нагрузка i-й переменной
на j-й фактор). Значения аij, bi и ci2 считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается нек-рой неопределённостью, т. к. п переменных выражаются здесь через п + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, к-рую можно проверить. Напр., если факторы fj некоррелированы и сij - элементы матрицы ковариаций между величинами Xi, то из уравнений (*) следует выражение для сijчерез факторные нагрузки и дисперсии ошибок:
Т. о., общая модель Ф. а. равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {аij} и диагональной матрицы А с
Процедура оценивания в Ф. а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры - числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами Xi, и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т. к. в уравнении (*) факторы fjмогут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, к-рое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что Х1, ..., Хп подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {cij}. Выделяется максимального правдоподобия метод, к-рый приводит к единственным оценкам для сij, но для оценок аijдаёт уравнения, к-рым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.
Ф. а. возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире - Ф. а. находит применение при решении различных практич. задач в медицине, экономике, химии и т. д. Однако многие результаты и методы Ф. а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание совр. Ф. а.- задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решённая.
Лит.: Лоули Д., Максвелл А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Xарман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972. А. В. Прохоров.
2718.htm
ФАРАДЕЯ ЭФФЕКТ, один из эффектов магнитооптики. Заключается во вращении плоскости поляризации электромагнитного излучения (напр., света), распространяющегося в веществе вдоль силовых линий постоянного магнитного поля, проходящих через это вещество. Открыт М. Фарадеем в 1845 и явился первым доказательством наличия прямой связи между магнетизмом и светом.
Феноменологич. объяснение Ф. з. заключается в следующем. Намагниченное вещество в общем случае уже нельзя охарактеризовать единым преломления показателем п. Показатели преломления n+ и п_ для излучения правой и левой круговых поляризаций становятся различными (см. Магнитооптика). Проходящее через изотропную среду линейно поляризованное излучение всегда может быть формально представлено как суперпозиция (наложение) двух поляризованных по правому и левому кругу волн с противоположным направлением вращения. Различие п+ и п_ приводит к тому, что поляризованные по правому и левому кругу составляющие излучения распространяются в среде с различными фазовыми скоростями, приобретая разность хода, линейно зависящую от оптической длины пути. В результате плоскость поляризации монохроматического света с длиной волны X после прохождения в среде пути l поворачивается на угол Ф: O = = пl(п+ - n_)/Ч. Разность (п+ - п_) линейно зависит от напряжённости магнитного поля Н в области не очень сильных полей, в к-рой в общем случае справедливо соотношение
где константа пропорциональности V зависит от свойств вещества, длины волны излучения и темп-ры и носит назв. Верде постоянной.
Ф. э. оказался тесно связанным с Зее-мана эффектом, открытым в 1896 и обусловленным расщеплением уровней энергии атомов и молекул магнитным полем. Частоты, соответствующие отщеплённым уровням, сдвигаются симметрично по отношению к осн. частоте. Эта симметричность проявляется, в частности, в том, что квантовые переходы между этими уровнями при продольном относительно поля распространении света |
