| 8695912 9216 5224 943 1ются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т. д.
Термин "У." употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., напр., Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические, Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больц-мана в теории газов.
УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ, разность между средним и истинным солнечным временем; равна разности прямых восхождений истинного и среднего Солнца.
Часто У. в. определяют как разность истинного и среднего времени; в этом случае оно имеет противоположный знак, что нужно иметь в виду при пользовании справочниками.
У. в. непрерывно меняется. Это обусловлено тем, что истинное солнечное время, измеряемое часовым углом истинного Солнца, течёт неравномерно вследствие, во-первых, неравномерности движения Земли по орбите и, во-вторых, наклона эклиптики к экватору. Поэтому У. в. получается в результате сложения двух волн приблизительно синусоидальной формы и почти равной амплитуды (см. рис.). Одна из этих волн имеет годичный, другая - полугодичный периоды. Четыре раза в году, а именно: ок. 16 апр., 14 июня, 1 сент. и 25 дек. У. в. равно нулю и достигает 4 раза наибольшего значения (по абсолютной величине): ок. 12 февр. + 14,3 мин, 15 мая -3,8 мин, 27 июля + 6,4 мин и 4 ноября - 16,4 мин. С помощью У. в. может быть найдено среднее местное солнечное время, если известно истинное солнечное время, определённое по наблюдениям Солнца, напр. с помощью солнечных часов; при этом пользуются формулой:
m = m0 +n,
где т - среднее время, т0 - истинное время, n - У. в. Значения У. в. на каждый день даются в астрономич. ежегодниках и календарях. См. Время.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ, связывает давление р, объём V и температуру Т физически однородной системы в состоянии равновесия термодинамического: f(p, V, T)= 0. Это уравнение наз. термическим У. с., в отличие от калорического У. с., определяющего внутреннюю энергию системы U как функцию к.-л. двух из трёх параметров р, V, Т. Термич. У. с. позволяет выразить давление через объём и темп-ру р = p(V, Т) и определить элементарную работу бА = pбV при бесконечно малом расширении системы бV. У. с. является необходимым дополнением к термодина-мич. законам, к-рое делает возможным их применение к реальным веществам. Оно не может быть выведено с помощью одних только законов термодинамики, а определяется или рассчитывается теоретически на основе представлений о строении вещества методами статистической физики. Из первого начала термодинамики следует лишь существование калорич. У. с., а из второго начала термодинамики - связь между термич. и калорич. У. с. (дU/дV)T = T(дp/дT)v - р, откуда вытекает, что для идеального газа внутр. энергия не зависит от объёма (дU/дV)Т = 0. Термодинамика показывает, что для вычисления как термич., так и калорич. У. с., достаточно знать любой из потенциалов термодинамических в виде функции своих параметров. Напр., если известна Гельмгольцева энергия F как функция Г и V, то У. с. находят дифференцированием:
Примерами У. с. для газов может служить Клапейрона уравнение для идеального газа pv=RT, где R - газовая постоянная, v - объём 1 моля газа;
зависящие от природы газа и учитывающие влияние сил притяжения между молекулами и конечность из объёма, в и-риальное У. с. для неидеального газа рv/RT = 1 + B(T)/v + C(T)/v2 + ..., где В(Т), С(T)... - 2-й, 3-й и т. д. ви-риальные коэфф., зависящие от сил взаимодействия между молекулами (см. Газы). Это уравнение является наиболее надёжным и теоретически обоснованным У. с. для газов и позволяет объяснить многочисленные экспериментальные результаты на основании простых моделей межмолекулярного взаимодействия. Были предложены также различные эм-пирич. У. с., основанные на экспериментальных данных о теплоёмкости и сжимаемости. У. с. неидеальных газов указывает на существование критич. точки (с параметрами pk, Vk,, Tk), в к-рой газообразная и жидкая фазы становятся идентичными (см. Критическое состояние). Если У. с. представить в виде приведённого У. с., т. е. в безразмерных переменных р/рк, V/Vk, Т/Тk, то при не слишком низких темп-pax это уравнение мало меняется для различных веществ (закон соответственных состояний).
Для равновесного излучения, или фотонного газа, У. с. определяется Планка законом излучения для средней плотности энергии.
Для жидкостей из-за сложности учёта всех особенностей взаимодействия молекул пока не удалось теоретически получить общее У. с. Уравнение Ван-дер-Ваальса хотя и применяют для качественной оценки поведения жидкостей, но оно по существу неприменимо ниже критич. точки, когда возможно сосуществование жидкой и газообразной фаз. У. с., хорошо описывающее свойства ряда простых жидкостей, можно получить из приближённых теорий жидкого состояния типа теории свободного объёма или дырочной теории (см. Жидкость). Знание распределения вероятности взаимного расположения молекул (парной корреляционной функции) принципиально позволяет вычислить У. с. жидкости, но эта задача очень сложна и полностью ещё не решена даже с помощью вычислит. машин.
Для твёрдых тел термич. У. с. определяет зависимость модулей упругости от темп-ры и давления. Оно может быть получено на основании теории теплового движения в кристаллах, рассматривающей фононы и их взаимодействие, но пока общего У. с. для твёрдых тел не найдено.
Для магнитных сред элементарная работа при намагничивании равна бА = -HбM, где М - магнитный момент, Н - напряжённость магнитного поля. Следовательно, зависимость М = М(Н,Т) представляет собой магнитное У. с.
Для электрически поляризуемых сред элементарная работа при поляризации равна бА = -ЕбР, где Р - поляризация, Е - напряжённость электрич. поля, следовательно, У. с. имеет вид Р = Р(Е, Т).
Лит.: Хилл Т., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1960; Вукалович М. П., Новиков И. И., Уравнение состояния реальных газов, М. -Л., 1948; Мейсон Э., СперлингТ., Вириальное уравнение состояния, пер. с англ., М., 1972; Лейбфрид Г., Людвиг В., Теория ангармонических эффектов в кристаллах, пер. с англ., М., 1963. См. также лит. при статьях Статистическая физика и Термодинамика.
Д. Н. Зубарев.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, дифференциальные уравнения с частными производными, а также нек-рые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифферен-циальные и т. д.), к к-рым приводит ма-тематич. анализ физич. явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физич. явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математич. анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, к-рые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физич. истолкование (см. Математическая физика).
Классификация уравнений математической физики. Значит. часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:
где все коэфф. аij(аij= аji), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2, ..., хп(п>=2), а и - искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно X) уравнения
и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все п корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных п - 1 корней, - к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, - к параболическому типу. Если коэффициенты ац постоянны, то уравнение (1) принад-
лежит к определённому типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1, ..., хn, то и корни уравнения (2) зависят от x1, ..., хn, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в к-рых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболич. уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).
Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.
Основные примеры уравнений математической физики. Волновое уравнение:
- простейшее уравнение гиперболич. типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части к-рых добавлены известные функ |
