| 8695912 9216 5224 943 1Больяй, нем. математиками К. Гауссом и Б. Риманом.
В отсутствие Т. движение тела по инерции в пространстве-времени спец. теории относительности изображается прямой линией, или, на математич. языке, экстремальной (геодезической) линией. Идея Эйнштейна, основанная на принципе эквивалентности и составляющая основу теории Т., заключается в том, что и в поле Т. все тела движутся по геодезич. линиям в пространстве-времени, к-рое, однако, искривлено, и, следовательно, геодезич. линии уже не прямые.
Массы, создающие поле Т., искривляют пространство-время. Тела, к-рые движутся в искривлённом пространстве-времени, и в этом случае движутся по одним и тем же геодезич. линиям независимо от массы или состава тела. Наблюдатель воспринимает это движение как движение по искривлённым траекториям в трёхмерном пространстве с переменной скоростью. Но с самого начала в теории Эйнштейна заложено, что искривление траектории, закон изменения скорости - это свойства пространства-времени, свойства геодезич. линий в этом пространстве-времени, а следовательно, ускорение любых различных тел должно быть одинаково и, значит, отношение тяжёлой массы к инертной [от которого зависит ускорение тела в заданном поле Т., см. формулу (6)] одинаково для всех тел, и эти массы неотличимы. Т. о., поле Т., по Эйнштейну, есть отклонение свойств пространства-времени от свойств плоского (неискривлённого) многообразия спец. теории относительности.
Вторая важная идея, лежащая в основе теории Эйнштейна,- утверждение, что Т., т. е. искривление пространства-времени, определяется не только массой вещества, слагающего тело, но и всеми видами энергии, присутствующими в системе. Эта идея явилась обобщением на случай теории Т. принципа эквивалентности массы (m) и энергии (E) спец. теории относительности, выражающейся формулой Е = тс2. Согласно этой идее, Т. зависит не только от распределения масс в пространстве, но и от их движения, от давления и натяжений, имеющихся в телах, от электромагнитного поля и всех др. физ. полей.
Наконец, в теории тяготения Эйнштейна обобщается вывод спец. теории относительности о конечной скорости распространения всех видов взаимодействия. Согласно Эйнштейну, изменения грави-тац. поля распространяются в вакууме со скоростью с.
Уравнения тяготения Эйнштейна
В спец. теории относительности в инер-циалъной системе отсчёта квадрат четырёхмерного "расстояния" в пространстве-времени (интервала ds) между двумя бесконечно близкими событиями записывается в виде:
[2623-9.jpg]
где t - время, х, у, z - прямоугольные декартовы (пространственные) координаты. Эта система координат наз. галилеевой. Выражение (7) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата расстояния в евклидовом трёхмерном пространстве в декартовых координатах (с точностью до числа измерений и знаков перед квадратами дифференциалов в правой части). Такое пространство-время называют плоским, евклидовым, или, точнее, псевдоевклидовым, подчёркивая особый характер времени: в выражении (7) перед (cdt)2стоит знак "+", в отличие от знаков "-" перед квадратами дифференциалов пространств. координат. Т. о., спец. теория относительности является теорией физ. процессов в плоском пространстве-времени (пространстве-времени Минковского; см. Минковского пространство).
В пространстве-времени Минковского не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в к-рых интервал записывается в виде (7). Можно ввести любые криволинейные координаты. Тогда квадрат интервала ds2 будет выражаться через эти новые координаты общей квадратичной формой:
[2623-10.jpg]
(i, k = 0,1,2,3), где x1, x2, х3- произвольные пространств. координаты, x° = ct- временная координата (здесь и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С физ. точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход от инерц. системы отсчёта к системе, вообще говоря, движущейся с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся и вращающейся, и использование в этой системе недекартовых пространств. координат. Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем, практически они иногда оказываются удобными. Но в спец. теории относительности всегда можно пользоваться и галилеевой системой, в которой интервал записывается особенно просто. [В этом случае в формуле (8) ди, - О при i = k, g00 = 1, gи = -1 при I = 1,2,3.]
В общей теории относительности пространство-время не плоское, а искривлённое. В искривлённом пространстве-времени (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях такого искривлённого пространства-времени ds2 записывается в криволинейных координатах в общем виде (8). Зная gikкак функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени. Говорят, что величины gik, определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех gik, называют метрическим тензором. С помощью gikвычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, формула для вычисления бесконечно малого интервала времени dt по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид:
[2623-11.jpg]
При наличии поля Т. величина g00в разных точках разная, следовательно, темп течения времени зависит от поля Т. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля.
Математич. аппаратом, изучающим неевклидову геометрию (см. Романова геометрия) в произвольных координатах, является тензорное исчисление. Общая теория относительности использует аппарат тензорного исчисления, её законы записываются в произвольных криволинейных координатах (это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта), как говорят, в ковари-антном виде.
Осн. задача теории Т.- определение гравитац. поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрич. тензора gik.
Уравнения тяготения Эйнштейна связывают величины gik, с величинами, характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т. п. Эти уравнения записываются в виде:
[2623-12.jpg]
Здесь Rik - т. н. тензор Риччи, выражающийся через gik, его первые и вторые производные по координатам; R = = Rik gik(величины gikопределяются из уравнений gik,gkm= бm, где бm - Кронекера символ); Тik, - т. н. тензор энергии-импульса материи, компоненты к-рого выражаются через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю и её движение (под физ. материей подразумеваются обычное вещество, электромагнитное поле, все др. физ. поля).
Вскоре после создания общей теории относительности Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения уравнений (9) с сохранением осн. принципов новой теории. Это изменение состоит в добавлении к правой части уравнений (9) т. н. "космологич. члена": Лgik.Постоянная Л, наз. "космологич. постоянной", имеет размерность см-2. Целью этого усложнения теории была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, к-рая не изменяется со временем (см. Космология). Космологич. член можно рассматривать как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение) вакуума. Однако вскоре (в 20-х гг.) сов. математик А. А. Фридман показал, что уравнения Эйнштейна без Л-члена приводят к эволюционирующей модели Вселенной, а амер. астроном Э. Хаббл открыл (1929) закон т. н. красного смещения для галактик, к-рое было истолковано как подтверждение эволюц. модели Вселенной. Идея Эйнштейна о статич. Вселенной оказалась неверной, и хотя уравнения с Л-чле-ном тоже допускают нестационарные решения для модели Вселенной, необходимость в Л-члене отпала. После этого Эйнштейн пришёл к выводу, что введение Л-члена в уравнения Т. не нужно (т. е. что Л = 0). Не все физики согласны с этим заключением Эйнштейна. Но следует подчеркнуть, что пока нет никаких серьёзных наблюдательных, экспериментальных или теоретич. оснований считать Л отличным от нуля. Во всяком случае, если Л=0, то, согласно астро-физич. наблюдениям, его абс. величина чрезвычайно мала: |Л| < 10-55 см-2. Он может играть роль только в космологии и практически совершенно не сказывается во всех др. задачах теории Т. Везде в дальнейшем будет положено Л = 0.
Внешне уравнения (9) подобны уравнению (4) для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа - величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако уравнения (9) имеют ряд существ. особенностей. Уравнение (4) линейно и поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитац. потенциал Ф для любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле Т. не зависит от движения масс, поэтому уравнение (4) само не определяет непосредственно их движение. Движение масс определяется из второго закона механики Ньютона (6). Иная ситуация в теории Эйнштейна. Уравнения (9) нелинейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В теор |
