| 8695912 9216 5224 943 1, т. е. в виде интеграла от выражений (3):
[2623-6.jpg]
Интегрирование производится по всей массе тела (или системы тел), r - расстояние элемента массы dm от точки, в к-рой вычисляется потенциал. Выражение (4а) является решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела или системы тел определяется, вообще говоря, неоднозначно. Так, напр., к потенциалу можно прибавлять произвольную константу. Если потребовать, чтобы вдали от тела или системы, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал определяется решением уравнения Пуассона однозначно в виде (4а). Ньютоновская теория Т. и ньютоновская механика явились величайшим достижением естествознания. Они позволяют описать с большой точностью обширный круг явлений, в т. ч. движение ес-теств. и искусств. тел в Солнечной системе, движения в др. системах небесных тел: в двойных звёздах, в звёздных скоплениях, в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование неизвестной ранее планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны мн. др. предсказания, впоследствии блестяще подтвердившиеся. В совр. астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе к-рого вычисляются движения и строение небесных тел, их эволюция, определяются массы небесных тел. Точное определение гравитац. поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью (гравиметрич. разведка) и, следовательно, непосредственно решать важные прикладные задачи. Однако в нек-рых случаях, когда поля Т. становятся достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению со скоростью света, Т. уже не может быть описано законом Ньютона.
Необходимость обобщения закона тяготения Ньютона
Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение Т. и уже поэтому не может быть согласована со спец. теорией относительности (см. Относительности теория), утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Нетрудно найти условия, ограничивающие применимость ньютоновской теории Т. Так как эта теория не согласуется со спец. теорией относительности, то её нельзя применять в тех случаях, когда гравитац. поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости порядка скорости света с. Скорость, до к-рой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до нек-рой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитац. потенциала ф в этой точке (на бесконечности ф считается равным нулю). Т. о., теорию Ньютона можно применять только в том случае, если
[2623-7.jpg]
В полях Т. обычных небесных тел это условие выполняется; так, на поверхности Солнца |ф| /с2 = 4 10-6, а на поверхности белых карликов - порядка 10-3. Кроме того, ньютоновская теория неприменима и к расчёту движения частиц даже в слабом поле Т., удовлетворяющем условию (5), если частицы, пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от этих тел имели скорость, сравнимую со скоростью света. В частности, теория Ньютона неприменима для расчёта траектории света в поле Т. Наконец, теория Ньютона неприменима при расчётах переменного поля Т., создаваемого движущимися телами (напр., двойными звёздами) на расстояниях r > Л = ct, где t - характерное время движения в системе (напр., период обращения в системе двойной звезды). Действительно, согласно ньютоновской теории, поле Т. на любом расстоянии от системы определяется формулой (4а), т. е. положением масс в тот же момент времени, в к-рый определяется поле. Это означает, что при движении тел в системе изменения гравитац. поля, связанные с перемещением тел, мгновенно передаются на любое расстояние r. Но, согласно спец. теории относительности, изменение поля, происходящее за время т, не может распространяться со скоростью, большей с.
Обобщение теории Т. на основе спец. теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1915-16. Новая теория была названа её творцом общей теорией относительности.
Принцип эквивалентности
Самой важной особенностью поля Т., известной в ньютоновской теории и положенной Эйнштейном в основу его новой теории, является то, что Т. совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения независимо от их массы, хим. состава и др. свойств. Так, на поверхности Земли все тела падают под влиянием её поля Т. с одинаковым ускорением - ускорением свободного падения. Этот факт был установлен опытным путём ещё Г. Галилеем и может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной, или тяжёлой, массы mт, определяющей взаимодействие тела с полем Т. и входящей в закон (1), и инертной массы тт, определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона (см. Ньютона законы механики). Действительно, уравнение движения тела в поле Т. записывается в виде:
[2623-8.jpg]
где а - ускорение, приобретаемое телом под действием напряжённости гравитац. поля д. Если тАпропорциональна тт, и коэфф. пропорциональности одинаков для любых тел, то можно выбрать единицы измерения так, что этот коэфф. станет равен единице, mи = mт; тогда они сокращаются в уравнении (6), и ускорение а не зависит от массы и равно напряжённости д поля Т., а = g, в согласии с законом Галилея. (О совр. опытном подтверждении этого фундаментального факта см. ниже.)
Т. о., тела разной массы и природы движутся в заданном поле Т. совершенно одинаково, если их начальные скорости были одинаковыми. Этот факт показывает глубокую аналогию между движением тел в поле Т. и движением тел в отсутствие Т., но относительно ускоренной системы отсчёта. Так, в отсутствие Т. тела разной массы движутся по инерции прямолинейно и равномерно. Если наблюдать эти тела, напр., из кабины космич. корабля, к-рый движется вне полей Т. с постоянным ускорением за счёт работы двигателя, то, естественно, по отношению к кабине все тела будут двигаться с постоянным ускорением, равным по величине и противоположным по направлению ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым ускорением в постоянном однородном поле Т. Силы инерции, действующие в космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли, неотличимы от сил гравитации, действующих в истинном поле Т. в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно, силы инерции в ускоренной системе отсчёта (связанной с космическим кораблём) эквивалентны гравитационному полю. Этот факт выражается принципом эквивалентности Эйнштейна. Согласно этому принципу, можно осуществить и проце-ДУРУ. обратную описанной выше имитации поля Т. ускоренной системой отсчёта, а именно, можно "уничтожить" в данной точке истинное гравитац. поле введением системы отсчёта, движущейся с ускорением свободного падения. Действительно, хорошо известно, что в кабине космич. корабля, свободно (с выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в её поле Т., наступает состояние невесомости - не проявляются силы тяготения. Эйнштейн предположил, что не только механич. движение, но и вообще все физ. процессы в истинном поле Т., с одной стороны, и в ускоренной системе в отсутствие Т., с другой стороны, протекают по одинаковым законам. Этот принцип получил название "сильного принципа эквивалентности" в отличие от "слабого принципа эквивалентности", относящегося только к законам механики.
Основная идея теории тяготения Эйнштейна
Рассмотренная выше система отсчёта (космич. корабль с работающим двигателем), движущаяся с постоянным ускорением в отсутствие поля Т., имитирует только однородное гравитац. поле, одинаковое по величине и направлению во всём пространстве. Но поля Т., создаваемые отд. телами, не таковы. Для того чтобы имитировать, напр., сферич. поле Т. Земли, нужны ускоренные системы с различным направлением ускорения в различных точках. Наблюдатели в разных системах, установив между собой связь, обнаружат, что они движутся ускоренно друг относительно друга, и тем самым установят отсутствие истинного поля Т. Т. о., истинное поле Т. не сводится просто к введению ускоренной системы отсчёта в обычном пространстве, или, говоря точнее, в пространстве-времени спец. теории относительности. Однако Эйнштейн показал, что если, исходя из принципа эквивалентности, потребовать, чтобы истинное гравитац. поле было эквивалентно локальным соответствующим образом ускоренным в каждой точке системам отсчёта, то в любой конечной области пространство-время окажется искривлённым - неевклидовым. Это означает, что в трёхмерном пространстве геометрия, вообще говоря, будет неевклидовой (сумма углов треугольника не равна я, отношение длины окружности к радиусу не равно 2 я и т. д.), а время в разных точках будет течь по-разному. Т. о., согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитац. поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.
Следует подчеркнуть, что создание теории тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии рус. математиком Н. И. Лобачевским, венг. математиком Я. |
