| 8695912 9216 5224 943 1двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферич. треугольников были, найдены араб, учёным Абу-льВефа (10 в.) [формула (1)], нем. математиком И. Региомонтаном (сер. 15 в.) [формулы типа (2)], франц. математиком Ф. Виетом (2-я пол. 16 в.) [формулы типа (2i) ] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3i)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотл. математиком Дж. Непером (кон. 16 -нач. 17 вв.), англ, математиком Г. Бригсом (кон. 16-нач. 17 вв.), рус. астройомом А. И. Лекселем (2-я пол. 18 в.), франц. астрономом Ж. Деламбром (кон. 18 - нач. 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.
СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Точки М, три числа r, 0, <р, к-рые определяются следующим образом. Через фиксированную точку О (рис.) проводятся три взаимно перпендикулярные оси Ox, Oy, Oz. Число r равно расстоянию от точки О до точки М, 6 представляет собой угол между вектором
ОМ и положительным направлением оси Оz, ф - угол, на к-рый надо повернуть против часовой стрелки положительную полуось Ох до совпадения с вектором ON (N - проекция точки М на плоскость хОу). С. к. точки М зависят, т. о., от выбора точки О и трёх осей Ox, Oy, Ог. Связь С. к. с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами:
[25C-11.jpg]
С. к. имеют большое применение в математике и её приложениях к физике и технике.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, специальные функции, применяемые для изучения физич. явлений в пространственных областях, ограниченных сферич. поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферич. симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения
[25C-12.jpg]
получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферич. координатах r, 9, ф. Общий вид решения:
[25C-13.jpg]
где Рn - Лежандра многочлены.
С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции
[25C-14.jpg]
образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрич. система функций на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты ф, разлагаются по зональным С. ф.:
[25C-15.jpg]
[25C-16.jpg]
(q--1М -точка, в к-рую переходит точка М сферы при вращении q-l). Коэффициенты t1 (q) являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса / группы вращения сферы. Их наз. также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении нек-рых задач теории упругости и т. д. С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:
[25C-17.jpg]
где
cos y=cos o cos o' + sin o sin o'cos (ф-ф'), у - сферич. расстояние точки (o, ф) от точки (o', ф').
Характерным примером многочисл. приложений С. ф. к вопросам математич. физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть б = б(o, ф) - поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд
С. ф. En=0 Yn(0, ф), сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, o, ф), внешней относительно данной сферы, равен
[25C-18.jpg]
а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен
[25C-19.jpg]
Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию соответственно степени п - 1 и п.
С. ф. были введены А. Лежандром и П. Лапласом в кон. 18 в.
Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1 - 2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Г о бс о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.
СФЕРИЧЕСКИЙ ИЗБЫТОК, превышение суммы углов сферического треугольника сверх 180°, т. е. сверх суммы углов прямолинейного треугольника на плоскости. Сумма углов треугольника, образованного тремя геодезическими линиями на поверхности с положительной кривизной, т. е. на выпуклой поверхности, всегда больше двух прямых и равна
[25C-20.jpg]
где К - полная кривизна поверхности, a dS - элемент её площади. С. и. треугольника, образованного большими кругами на сфере (шаре) с радиусом R, равен
[25C-21.jpg]
где S - площадь треугольника. Для небольших треугольников на поверхности земного шара с двумя сторонами а, Ь и углом С между ними величина Е, выраженная в секундах дуги, равна
[25C-22.jpg]
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК, материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой сферич. поверхности, в частности по полусфере, обращённой выпуклостью вниз. См. Маятник.
СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, геометрическая фигура, образованная дугами трёх больших кругов, соединяющих попарно три к.-н. точки на сфере. О свойствах С. т. и соотношениях между его элементами (углами и сторонами) см. в статьях Сферическая геометрия, Сферическая тригонометрия.
СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ поверхности S, непрерывное отображение S на сферу Р единичного радиуса, определяемое по параллельности касательных плоскостей в соответствующих точках поверхности и сферы (С. о. является также отображением по параллельности нормалей). Площадь s' сферич. образа областей G поверхности S не меняется при изгибаниях S. Это обстоятельство позволяет рассматривать число s' как внутреннюю меру искривлённости области G (площадь s' рассматривается со знаком в зависимости от направления обхода её границы). Если существует предел К отношения s' к s (s - площадь G), когда область G стягивается к нек-рой точке М на поверхности S, то он, очевидно, также не меняется при изгибаниях S и поэтому является внутренней характеристикой искривлённости S в точке М. Это число К называется полной, или гауссовой, кривизной поверхности S в точке М. С. о. поверхности играет важную роль в изучении свойств поверхностей.
Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Гильберт Д.,Кон-ФоссенС., Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М., 1951.
СФЕРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, центральное поле, понятие теории поля (см. Лоля теория). Векторное поде а(Р) наз. С. п., если существует такая точка О, что все векторы а(Р) лежат на прямых, проходящих через О, и их длина зависит только от расстояния r точки Р до точки О, то есть а(Р) = f(r)n, где п - единичный вектор прямой. Скалярное поле и(Р) наз. С. п., если существует такая точка О, что и(Р) зависит только от расстояния r точки Р до точки О, то есть и(Р) = ф(r). Примеры векторного С. п.: силовое поле, образованное точечным зарядом, поле ньютоновского тяготения материальной точки. Пример скалярного С. п.- поле распределения темп-ры в изотропном однородном теле при точечном источнике тепла.
СФЕРО... (от греч. sphaira - шар), первая часть нек-рых сложных слов, имеющих отношение к шару или сфере как геометрич. образам.
СФЕРОИД (от сфера и греч. eidos -вид), сплюснутый эллипсоид вращения малого сжатия; в более общем смысле -всякая поверхность, близкая к сфере. См., напр., Земной сфероид.
СФЕРОИДИЗАЦИЯ в металловедении, процесс перехода кристаллов избыточной фазы в глобулярную (сферическую) форму, происходящий при относительно высоких темп-рах в связи с уменьшением меж фазной поверхностной энергии. Особенно важное значение имеет С. пластинок цементита, входящего в состав перлита: при этом пластинчатый перлит превращается в зернистый, в результате чего значительно уменьшаются твёрдость и прочность, но повышается пластичность металла. С. осуществляется длительной выдержкой при темп-pax вблизи нижней критич. точки или циклич. нагревом - охлаждением вблизи этих темп-р (см. Отжиг)', процесс может быть ускорен предварит, деформацией или закалкой. Сфероидизирующий отжиг на зернистый перлит, особенно высокоуглеродпстых шарикоподшипниковых и инструментальных сталей, служит для улучшения их обрабатываемости на металлорежущих станках, а также для подготовки структуры к закалке.
Лит.: Раузин Я. Р., Термическая обработка хромистой стали, 3 изд., М., 1963; Бунин К. П., Баранов А. А., Металлография, М., 1970. Р. И. Энтин.
СФЕРОЛИТЫ (от сфера... и греч. lithos - камень), небольшие шарики радиально-лучистого строения, представляющие собой агрегаты очень тонких игольчатых кристаллов. Встречаются в магматических и осадочных горных породах. Минеральный состав и величина С. разнообразны. С. в магматич. породах рассматриваются б. ч. как эндогенные контактовые образования в краевых участках диабазов. В кислых лавах С. могут возникать путём консолидации в основной стекловатой массе при её застывании. В основных лавах (вариолитах) подобные образования наз. в ар и о л я м и. С. формируются также в газовых пустотах уже твёрдой породы при вторичном выпадении цеолитов, кварца и т. п. минералов (т. н. псе вдосферолит ы). В осадочных породах встречаются С. карбонатные, марганцево-железистые, фосфатные, халце |
