| 8695912 9216 5224 943 1. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений :
sin2 ф + cos2 ф= 1,
tg2 ф + l =sec2 ф, ctg2 ф+1 = cosec2 ф.
Для нек-рых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрич. соображений (табл.).
Для больших значений аргумента можно пользоваться т. н. формулами приведения, к-рые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
[2611-7.jpg]
Т. ф. аргумента ф, удовлетворяющего соотношению 0 <= ф <= п/2 или даже 0 <= ф <= п/4, что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:
[2611-8.jpg]
в первых трёх формулах п может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k, a нижний - значению n = 2k + 1; в последних - n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при в = 4к + 1, а нижний при n = 4к - 1.
[2611-9.jpg]
Рис. 2. Графики тригонометрических функций: 1 - синуса; 2 - косинуса; 3 - тангенса; 4 - котангенса; 5 - секанса; 6 - косеканса.
Важнейшими тригонометрич. формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:
[2611-10.jpg]
знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, т. е. верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, напр.:
[2611-11.jpg]
Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, напр.:
[2611-12.jpg]
Формулы для соs2 ф и sin2 ф можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
[2611-13.jpg]
Знак перед корнем выбирается в зависимости от величины ф/2.
Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
[2611-14.jpg]
в первой и последней формулах (4) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам:
[2611-15.jpg]
Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
[2611-16.jpg]
Интегралы от рациональных комбинаций Т. ф. всегда являются элементарными функциями.
Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x и cos x представляются рядами, сходящимися для всех значений x:
[2611-17.jpg]
Эти ряды можно использовать для получения приближённых выражений sin x и cos x при малых значениях x:
[2611-18.jpg]
Тригонометрич. система 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx,... образует на отрезке [-п, п] ортогональную систему функций, что даёт возможность представления функций в виде тригонометрич. рядов (см. Фурье ряд).
Для комплексных значений аргумента значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф. комплексного аргумента связаны с показательной функцией формулой Эйлера: eiz = cos z + i sin z.
Отсюда можно получить выражения для sin x и cos x через показательные функции чисто мнимого аргумента (к-рые также называют формулами Эйлера):
[2611-19.jpg]
Эти формулы также могут быть использованы для определения значений cos z и sin z для комплексного z. Для чисто мнимых значений z = ix (x - действительное) получаем:
[2611-20.jpg]
где ch x и sh x-гиперболические косинус и синус (см. Гиперболические функции). Наоборот,
[2611-21.jpg]
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Напр.:
[2611-22.jpg]
Т. ф. комплексного аргумента являются аналитич. функциями, причём sin z и cos z - целые функции, a tg z, ctg z, sec z, cosec z - мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z находятся в точках z = п/2 + пn, a ctg z и cosec z в точках z = пn (п = 0, ±1, ±2, ...). Аналитяч. функция w = sin z осуществляет конформное отображение полуполосы - п < x < п, у > 0 плоскости z на плоскость w без отрезка действительной оси между точками - 1 и + 1. При этом семейства лучей x = х0 и отрезков у = у0 переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов. Вдвое более узкая полоса - п/2< x <п/2 преобразуется в верхнюю полуплоскость.
Уравнение x = sin у определяет у как многозначную функцию от х. Эта функция является обратной по отношению к синусу и обозначается у = Arc sin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу и косекансу: Arc cos x, Arc tg x, Arc ctg x, Arc sec x, Arc cosec x. Все эти функции называются обратными тригонометрическими функциями (в иностр. литературе иногда эти функции обозначаются sin-1z, соs-1 z и т. д.).
Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 - 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферич. треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10-6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin ф встречается уже у Ариаохаты (конец 5 в.). Функции tg ф и ctg ф встречаются у аль-баттяни (2-я половина 9 - начало 10 вв.) и Абу-лъ-Вефа (10 в.), к-рый употребляет также sec ф и cosec ф. Ариабхата знал уже формулу sin2 ф + cos2 ф = 1, а также формулы (3), с помощью к-рых построил таблицы синусов для углов через 3°45', исходя из известных значений Т. ф. для простейших аргументов (п/3, п/6). Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1° с помощью формул (2). Формулы (4) выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Регаомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И. Ньютоном (1669). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в.). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов.
Лит.: Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1 - 2, М., 1966; Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, с. 61 - 65.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗНАК в геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах. Т. з. состоит из двух частей - наружной (см. Сигнал геодезический) и подземной (см. Центр геодезический). Т. з. фиксирует положение тригонометрич. пункта, а также служит для установки геодезич. инструмента на высоте, обеспечивающей возможность непосредственного визирования на соседние Т. з.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПУНКТ, пункт триангуляции, геодезический пункт, положение к-рого на земной поверхности определено методом триангуляции. Точное положение Т. п. на местности фиксируется путём закладки в земле спец. сооружения - центра геодезического, и определяется координатами в выбранной системе геодезических координат. Горизонтальные координаты Т. п. вычисляются из триангуляции, а его высота над уровнем моря определяется методами тригонометрич. или геометрич. нивелирования. Т. п., так же как и полигонометрические пункты, составляют опорную геодезическую сеть, используемую при топографич. съёмке и различных геодезич. измерениях на местности.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД, функциональный ряд вида
[2611-23.jpg]
т. е. ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме
[2611-24.jpg]
Числа аn, bпили сn называют коэффициентами Т. р.
Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач ма-тематич. физики, среди к-рых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математич. анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.
Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера ("Введение в анализ бесконечно малых", 1748; Письмо к X. Гольдбаху от 4 июля 1744), напр.:
[2611-25.jpg]
действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к и |
