| 8695912 9216 5224 943 1тся n-мерные поверхности в [2605-284.jpg] , не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности[2605-285.jpg] Аналогичный результат верен и при а
[2605-286.jpg]
Каждое р-многообраэие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно нек-рым естественным образом ввести р-структу-ру (к-рая наз. обычно уайтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое [2605-287.jpg]-многообразие, где [2605-288.jpg] является [2605-289.jpg]-многообразием, где [2605-290.jpg]или [2605-291.jpg]. Ответ на обратный вопрос: на каких а-многообразиях можно ввести[2605-292.jpg]-структуру (такое а'-многообразие при [2605-293.jpg] наз. сглаживаемым, а при [2605-294.jpg] - триангулируемым), а если можно, то сколько ?- зависит от размерности n.
Существует только два одномерных топологич. многообразия: окружность S1 (компактное многообразие) и прямая линия [2605-295.jpg] (некомпактное многообразие). Для любого [2605-296.jpg] на t-многообразиях [2605-297.jpg] существует единственная[2605-298.jpg] структура.
Аналогично, на любом двумерном топологич. многообразии (поверхности) существует единственная а-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопич. тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологии. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера [2605-299.jpg] . Пусть X и У - два связных я-мерных а-многообразия. Вырежем в X и У по шару (при п = 2 - диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при п = 2 - окружности). При соблюдении нек-рых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим а-многообразие. Оно наз. связной суммой [2605-300.jpg]-многообразий X и У и обозначается[2605-301.jpg] Напр., [2605-302.jpg] имеет вид кренделя. Сфера [2605-303.jpg] является нулём этого сложения, т. е. [2605-304.jpg] для любого X. В частности, [2605-305.jpg] Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморф-на связной сумме вида[2605-306.jpg] число [2605-307.jpg] слагаемых [2605-308.jpg] наз. родом поверхности. Для сферы [2605-309.jpg], для тора р = 1 и т. д. Поверхность рода р можно наглядно представлять себе как сферу, к к-рой приклеено р "ручек". Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме[2605-310.jpg] нек-рого числа проективных плоскостей [2605-311.jpg].Её можно представлять себе как сферу, к к-рой приклеено несколько Мёбиуса листов.
На каждом трёхмерном топологич. многообразии при любом [2605-312.jpg] , s также существует единственная [2605-313.jpg]-структура и можно описать все гомотопич. типы трёхмерных топологич. многообразий (однако групп гомологии для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологич. многообразия данного гомотопич. типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S3). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомео-морфно S3.
Для четырёхмерных (компактных и связных) топологич. многообразий вопрос о существовании и единственности а-структур (а = р, s) ещё не решён, a их гомотопич. тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.
Замечательно, что для компактных и связных топологич. многообразий размерности [2605-314.jpg] ситуация оказывается совсем иной: все осн. задачи для них можно считать в принципе решёнными (точнее, сведёнными к проблемам ал-гебраич. Т.). Любое гладкое многообразие X вкладывается как гладкая (n-мерная) поверхность в [2605-315.jpg]; и касательные векторы к X составляют нек-рое новое гладкое многообразие ТХ, к-рое наз. касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологич. пространством X наз. топологич. пространство Е, для к-рого задано такое непрерывное отображение[2605-316.jpg] , что для каждой точки[2605-317.jpg] прообраз [2605-318.jpg] (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие [2605-319.jpg] пространства X, что для любого а прообраз [2605-320.jpg] гомеоморфен произведению [2605-321.jpg] , причём существует гомеоморфизм [2605-322.jpg], линейно отображающий каждый слой[2605-323.jpg] на векторное пространство[2605-324.jpg] При Е = ТХ непрерывное отображение [2605-325.jpg] сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем [2605-326.jpg] будет пространство, касательное к X в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством X определяет нек-рый элемент группы КО(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия X в группе КО(Х) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он наз. тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого а.
При а = р роль группы КО(Х) играет нек-рая другая группа, к-рая обозначается KPL(X), а при[2605-327.jpg] роль этой группы играет группа, обозначаемая КТор(Х). Каждое а-многообразие X определяет в соответствующей группе [КO(X), KPL(X) или КТор(Х)] нек-рый элемент, называемый его [2605-328.jpg]-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы КО(Х) > KPL(X) > KTop(X), и оказывается, что на n-мерном [2605-329.jpg] компактном и связном [2605-330.jpg]-многообразии X, где [2605-331.jpg] = = t, р, тогда и только тогда можно ввести[2605-332.jpg]-структуру ([2605-333.jpg], если [2605-334.jpg] и [2605-335.jpg] , если [2605-336.jpg]), когда его а'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [КРL(Х) при [2605-337.jpg] и КО(Х) при [2605-338.jpg]]. Число таких структур конечно и равно числу элементов нек-рого фактормножества множества [2605-339.jpg] где [2605-340.jpg] - нек-рое специальным образом сконструированное топологич. пространство (при[2605-341.jpg] топологич. пространство [2605-342.jpg] обозначается обычно символом PL/O, а при а = = р - символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности а-структуры сводится к нек-рой задаче теории гомотопий. Гомотопич. тип топологич. пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что [2605-343.jpg] при [2605-344.jpg] откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности [2605-345.jpg] сглаживаемо, а при [2605-346.jpg] единственным образом. Напротив, гомотопич. тип топологич. пространства [2605-347.jpg] оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно[2605-348.jpg] Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологич. многообразии не превосходит числа элементов группы [2605-349.jpg]. Такие структуры заведомо существуют, если [2605-350.jpg] = = 0, но при [2605-351.jpg] кусочно-линейной структуры может не существовать.
В частности, на сфере [2605-352.jpg] существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере [2605-353.jpg] может быть много, напр., на [2605-354.jpg] существует 28 различных гладких структур. На торе Тn (топологич. произведении n экземпляров окружности [2605-355.jpg]) существует при [2605-356.jpg] много различных кусочно-линейных структур, к-рые все допускают гладкую структуру. T. о., начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.
Задачу описания (с точностью до а-гомеоморфизма) всех n-мерных[2605-357.jpg] связных компактных [2605-358.jpg]-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопич. эквивалентности[2605-359.jpg] -многообразий и условия [2605-360.jpg]-гомеоморфности гомотопически эквивалентных[2605-361.jpg] -многообразий. Первая задача относится к гомотопич. Т. и в её рамках может считаться полностью решённой. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных [2605-362.jpg]-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники "разложения на ручки". С помощью этой техники удаётся, напр., доказать для n-мерных [2605-363.jpg] топологич. многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологич. многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфной).
Наряду [2605-364.jpg] -многообразиями можно рассматривать т. н. [2605-365.jpg]-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности нек-рых их точек (составляющих край) [2605-366.jpg]-гомеоморфны полупространству [2605-367.jpg] пространства IR". Край является (n - 1)-мерным а-многоооразием (вообще говоря, несвязным). Два n-мерных компактных а-многообразия X и У наз. (ко) бордантными, если существует такое (п + 1)-мерное компактное а-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, а-гомеоморфных X и У. Если отображения вложения[2605-368.jpg] и [2605-369.jpg] являются гомотопич. эквивалентностями, то гладкие многообразия наз. [ |
