| 8695912 9216 5224 943 1мологии и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраич. структура, имеющаяся в группах гомологии, менее привычна (напр., эти группы составляют не алгебру, а т. н. коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в нек-рых вопросах группы гомологии оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраич. Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологии и когомологий, наз. теорией гомологий.
Перенесение результатов алгебраич. Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет т. н. общей алгебра ц ч. Т. В частности, общая теория гомологии изучает группы гомологии и когомологий произвольных топологич. пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологич. пространств возникает целый ряд различных групп гомологии и когомологий. Осн. применения общая теория гомологии находит в теории размерности и в теории т. н. законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологич. свойствами двух дополнительных подмножеств топологич. пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.
4. Кусочно-линейная топология
Подмножество [2605-240.jpg] наз. конусом с вершиной а и основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида аb, где [2605-241.jpg]. Подмножество [2605-242.jpg] наз. полиэдром, если любая его точка обладает в X окрестностью, замыкание к-рой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение [2605-243.jpg] полиэдров наз. кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой ко-нич. окрестности любой точки[2605-244.jpg] Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к к-рому также кусочно-линейно, наз. кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.
Подмножество [2605-245.jpg] тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление наз. триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, т. е. множеством всех её вершин, в к-ром отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симплициальные схемы их триангуляции. Напр., по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологии и когомологий. Это делается следующим образом:
а) симплекс, вершины к-рого определённым образом упорядочены, наз. упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G наз. n-мерными цепями; все они естественным образом составляют группу, к-рая обозначается символом
б) [2605-246.jpg]выбросив из упорядоченного n-мерного симплекса а вершину с номером i, [2605-247.jpg], получим упорядоченный (n - 1)-мерный симплекс, к-рый обозначается символом [2605-248.jpg] ; цепь[2605-249.jpg][2605-250.jpg] наз. границей а; по линейности отображение[2605-251.jpg] распространяется до гомоморфизма [2605-252.jpg] :[2605-253.jpg][2605-254.jpg]
в) цепи с, для к-рых [2605-255.jpg] , наз. циклами, они составляют группуциклов [2605-256.jpg];
г) цепи вида дc наз. границами, они составляют группу границ
д) [2605-257.jpg]доказывается, что[2605-258.jpg][2605-259.jpg] (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа.
Оказывается, [2605-260.jpg] что группа[2605-261.jpg] изоморфна группе гомологии[2605-262.jpg] полиэдра X, триангуляцией к-рого является К. Аналогичная конструкция, в к-рой исходят не из цепей, а из ко-цепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы когомоло-гий.
С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраич. Т. В первоначальной конструкции рассматривались т. н. ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраич. аспекты дали начало т. н. гомологич. алгебре.
Самым общим образом симплициаль-ную схему можно определить как множество, в к-ром отмечены нек-рые конечные подмножества ("симплексы"), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции нек-рого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит нек-рого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив т. н. "бесконечномерные полиэдры"), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции нек-рого полиэдра (называемого её геометрич. реализацией).
Произвольному открытому покрытию [2605-263.jpg] каждого топологич. пространства X можно сопоставить симплициальную схему, вершинами к-рой являются элементы [2605-264.jpg] покрытия и подмножество к-рой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) наз. нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство X и, исходя из их групп гомологии и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологии и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологии. Аппроксимация топологич. пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.
5. Топология многообразий
Хаусдорфово паракомпактное топологич. пространство наз. n-мерным топологич. многообразием, если оно "локально евклидово", т. е. если каждая его точка обладает окрестностью (наз. координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологич. пространству [2605-265.jpg]. В этой окрестности точки задаются n числами x1,..., хп, наз. локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством нек-рых функций, наз. функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в [2605-266.jpg], наз. гомеоморфизмом перехода.
Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из [2605-267.jpg] называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть р-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, - s-гомеоморфизмом.
Пусть [2605-268.jpg] или s. Топологич. многообразие наз. [2605-269.jpg]-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются [2605-270.jpg]-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт [2605-271.jpg]-структуру на топологич. многообразии X. Т. о., t-многообразие - это просто любое топологич. многообразие, р-многообра-зия наз. кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу, s-многообразия наз. гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями, [2605-272.jpg]-отображением а-многообразия наз. при [2605-273.jpg] произвольное непрерывное отображение, при [2605-274.jpg]= = р - произвольное кусочно-линейное отображение, при [2605-275.jpg] - произвольное гладкое отображение, т. е. непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное а-отображение, обратное к к-рому также является а-отображением, наз.[2605-276.jpg]-гомеоморфизмом (при [2605-277.jpg] также диффеоморфизмом). [2605-278.jpg]-многообразия X и У наз. [2605-279.jpg]-гомеоморфными (при [2605-280.jpg] - диффеоморфными), если существует хотя бы один а-гомеоморфизм [2605-281.jpg]. Предметом теории а-многообразий является изучение а-многообразий и их [2605-282.jpg]-отображений; при этом а-гомеоморфные [2605-283.jpg]-многообразия считаются одинаковыми. Теория р-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многооб-разий наз. также гладкой Т.
Осн. метод совр. теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраич. Т. для нек-рых нужным образом сконструированных топологич. пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраич. Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрич. проблем, а с другой - резко стимулировала развитие самой алгебраич. Т.
Примерами гладких многообразий являю |
