| 8695912 9216 5224 943 105-164.jpg]: [2605-165.jpg] (гомоморфизм ф: [2605-166.jpg] что [2605-167.jpg](соответственно [2605-168.jpg] им будет гомоморфизм [2605-169.jpg] Следовательно, несуществование гомоморфизма [2605-170.jpg] (хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения д. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраич. Т. Напр., существует функтор h, значение к-рого на шаре [2605-171.jpg] является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере [2605-172.jpg] - нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие т. н. ретракции - непрерывного отображения [2605-173.jpg], неподвижного на [2605-174.jpg], т. е. такого, что композиция[2605-175.jpg] где [2605-176.jpg] - отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы [2605-177.jpg] будет композицией отображений
[2605-178.jpg]и[2605-179.jpg][2605-180.jpg] что при тривиальной группе [2605-181.jpg] невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологич. методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение [2605-182.jpg] имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. уравнение [2605-183.jpg] имеет в Еn хотя бы одно решение (если [2605-184.jpg] для всех [2605-185.jpg], то, приняв за р(х) точку из Sn-1], коллинеарную точкам f(x) и x и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х, получим ретракцию [2605-186.jpg]). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраич. Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.
Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма ф тем легче, чем сложнее алгебраич. структура объектов h(X). Поэтому в алгебраич. Т. рассматриваются алгебраич. объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраич. топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.
Топологич. пространство X наз. клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или СW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств[2605-187.jpg] (наз. остовами клеточного пространства X), объединением к-рых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество [2605-188.jpg] тогда и только тогда открыто в X, когда для любого п множество [2605-189.jpg] открыто в [2605-190.jpg] получается из [2605-191.jpg] приклеиванием нек-рого семейства n-мерных шаров по их граничным (n - 1)-мерным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер [2605-192.jpg] состоит из изолированных точек. Т. о., структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества наз. клетками). В алгебраич. Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраич. Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраич. Т. интересны нек-рые особо простые клеточные пространства (типа noлиэдров; см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров).
Два непрерывных отображения [2605-193.jpg] наз. гомотопными, если они могут быть непрерывно проде-формированы друг в друга, т. е. если существует такое семейство непрерывных отображений [2605-194.jpg] непрерывно зависящих от параметра[2605-195.jpg] что [2605-196.jpg] (непрерывная зависимость От t означает, что формула[2605-197.jpg][2605-198.jpg]определяет непрерывное отображение [2605-199.jpg] это отображение, а также семейство [2605-200.jpg] наз. гомотопией, связывающей f с g). Совокупность всех непрерывных отображений [2605-201.jpg] распадается на гомотопич. классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопич. классов непрерывных отображений из X в Y обозначается символом [X, У]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [X, У] составляет предмет т. н. гомотопич. топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологич. пространств множества [X, У] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологич. пространства X и У наз. гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопич. тип, если существуют такие непрерывные отображения [2605-202.jpg] что непрерывные отображения [2605-203.jpg] и [2605-204.jpg] гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопич. Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их "гомотопич. инварианты" совпадают).
Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопич. класса непрерывного отображения[2605-205.jpg] точнее, если для [2605-206.jpg] распространение [2605-207.jpg] существует, то для любой гомотопии [2605-208.jpg] существует распространение [2605-209.jpg] такое, что[2605-210.jpg] Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопич. класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, т. е. такие, что [2605-211.jpg] если отображения f0 и f1 гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраич. и гомотопич. Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.
Для любого топологич. пространства У формулы[2605-212.jpg]
где [2605-213.jpg] определяют нек-рый гомотопически инвариантный кофунктор h, о к-ром говорят, что он представлен топологич. пространством У. Это - стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопич. инвариантных кофунк-торов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, напр. потребовать, чтобы оно было топологич. группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в X нек-рую точку х0 и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие х0 в единицу группы; это технич. усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы У было топологич,. группой "в гомотопич. смысле", т. е. чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение нек-рых отображений) выполнялись бы только "с точностью до гомотопии". Такие топологич. пространства наз. Н-пространствами. Т. о., каждое Н-пространство У задаёт гомотопически инвариантный кофунктор [2605-214.jpg] значениями к-рого являются группы.
Аналогичным ("двойственным") образом, каждое топологич. пространство У [2605-215.jpg] задаёт по формулам[2605-216.jpg] нек-рый функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы У обладало определённой алгебраич. структурой, в нек-ром точно определённом смысле двойственной структуре Я-пространства. Топологич. пространства, наделённые этой структурой, наз. ко -Н -пространствами. Примером ко - Н -пространства является n-мерная сфера [2605-217.jpg] (при [2605-218.jpg] ). Т. о., для любого топологич. пространства X формула [2605-219.jpg] = = [Sn, X] определяет нек-рую группу пnХ, [2605-220.jpg], к-рая наз. n-й гомотопич. группой пространства X. При п = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n>l группа[2605-221.jpg] коммутативна. Если [2605-222.jpg], то X наз. односвязным.
Клеточное пространство X наз. пространством [2605-223.jpg] если [2605-224.jpg] = = 0 при i не =n и ппХ = G; такое клеточное пространство существует для любого n >= 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопич. эквивалентности определено однозначно. При n>l (а также при п = 1, если группа G коммутативна) пространство [2605-225.jpg] оказывается H-пространством и потому представляет нек-рую группу [2605-226.jpg] Эта группа наз. n-мерной группой когомологий топологич. пространства X с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу к-рых принадлежит, напр., К-функтор [2605-227.jpg], представляемый т. н. бесконечномерным грассманианом ВО, группы ориентированных кобордизмов [2605-228.jpg] и т. п.
Если G является кольцом, то прямая сумма [2605-229.jpg] групп [2605-230.jpg] является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраич. структурой, в к-рую (при [2605-231.jpg] где Zp - циклич. группа порядка р) входит действие на[2605-232.jpg] нек-рой некоммутативной алгебры[2605-233.jpg] наз. алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп [2605-234.jpg], а с другой - установить связи между группами [2605-235.jpg] и другими гомотопически инвариантными функторами (напр., гомотопич. группами [2605-236.jpg]), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.
Исторически группам когомологий предшествовали т. н. группы гомологии [2605-237.jpg] , являющиеся гомотопич. группами [2605-238.jpg] нек-рого клеточного пространства [2605-239.jpg], однозначно строящегося по клеточному пространству X и группе G. Группы го |
