| 8695912 9216 5224 943 1 - символом[2605-71.jpg]
В явном виде открытые множества пространства [2605-72.jpg] можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида [2605-73.jpg] где [2605-74.jpg] открыто в [2605-75.jpg] Топологич. пространство [2605-76.jpg] обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений [2605-77.jpg] существует единственное непрерывное отображение [2605-78.jpg] для к-рого[2605-79.jpg] при всех[2605-80.jpg]. Пространство [2605-81.jpg] является топологическим произведением п экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологич. произведение компактных топологич. пространств компактно.
Если [2605-82.jpg] - топологич. пространство, а [2605-83.jpg]- произвольное множество и если задано отображение [2605-84.jpg] пространства [2605-85.jpg] на множество[2605-86.jpg] (напр., если[2605-87.jpg] является фактормножеством [2605-88.jpg] по некоторому отношению эквивалентности, а р представляет собой естеств. проекцию, сопоставляющую с каждым элементом [2605-89.jpg]его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологич. структуры, относительно к-рой отображение р непрерывно. Наиболее "богатую" (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в У все те множества [2605-90.jpg], для к-рых множество [2605-91.jpg] открыто в X. Снабжённое этой топологич. структурой множество Y наз. факторпространством топологич. пространства X (по отношению к р). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение [2605-92.jpg] тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение [2605-93.jpg] :[2605-94.jpg] Непрерывное отображение р : [2605-95.jpg] наз. факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к р факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение [2605-96.jpg] наз. открытым, если для любого открытого множества [2605-97.jpg] множество [2605-98.jpg] открыто в У, и замкнутым, если для любого замкнутого множества[2605-99.jpg] множество [2605-100.jpg] замкнуто в У. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения [2605-101.jpg], для которых [2605-102.jpg], являются факторными.
Пусть X - топологич. пространство, А - его подпространство и [2605-103.jpg] - непрерывное отображение. Предполагая топологич. пространства X и У непересекающимися, введём в их объединении [2605-104.jpg] топологич. структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из [2605-105.jpg] Далее, введём в пространстве [2605-106.jpg] наименьшее отношение эквивалентности, в к-ром[2605-107.jpg] для любой точки [2605-108.jpg] . Соответствующее факторпространство обозначается символом [2605-109.jpg], и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологич. пространства X к топологич. пространству [2605-110.jpg] посредством непрерывного отображения [2605-111.jpg] . Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, т. к. позволяет получать из сравнительно простых топологич. пространств более сложные. Если У состоит из одной точки, то пространство[2605-112.jpg] обозначается символом [2605-113.jpg] и о нём говорят, что оно получено из X стягиванием А в точку. Напр., если X - диск, а А - его граничная окружность, то [2605-114.jpg] гомеоморфно сфере.
2. Равномерная топология
Часть Т., изучающая аксиоматич. понятие равномерной непрерывности, наз. равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрич. пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрич. пространств. Подробно исследованы два аксиоматич. подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.
Подмножества А и В метрич. пространства X наз. близкими (обозначение [2605-115.jpg]), если Для любого [2605-116.jpg] существуют точки [2605-117.jpg], расстояние между к-рыми [2605-118.jpg]. Принимая осн. свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве X наз. такое отношение [2605-119.jpg] на множестве всех его подмножеств, что: 1) [2605-120.jpg](символом[2605-121.jpg] обозначается отрицание отношения[2605-122.jpg] и[2605-123.jpg]
4) если [2605-124.jpg] то существует такое множество [2605-125.jpg] что [2605-126.jpg] Множество, в к-ром задана структура близости, наз. пространством близости. Отображение пространства близости X в пространство близости Y наз. близостно непрерывным, если образы близких в X множеств близки в Y. Пространства близости X и У наз. близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение[2605-127.jpg], обратное к к-рому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение наз. эквиморфизмо м). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрич. пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологич. пространство, считая подмножество [2605-128.jpg] открытым, если[2605-129.jpg] для любой точки[2605-130.jpg] При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями.
Класс топологич. пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологич. пространств. Для любого вполне регулярного пространства X все структуры близости на X, порождающие его топологич. структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии ст. н. компактификациями (в другой терминологии - бикомпактными расширениями) вХ - компактными хаусдорфовыми топологич. пространствами, содержащими X в качестве всюду плотного пространства. Структура близости [2605-131.jpg], соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что [2605-132.jpg] тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bХ. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологич. пространстве X существует единственная структура близости, порождающая его топологич. структуру.
Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрич. пространстве X можно определить в терминах отношения "точки х и у находятся на расстоянии, не большем е". С общей точки зрения, отношение на X есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения [2605-133.jpg] Отношение "тождество" является с этой точки зрения диагональю [2605-134.jpg] т. е. множеством точек вида [2605-135.jpg] Для любого отношения
[2605-136.jpg]отношенийU и V определена их композиция[2605-137.jpg] существует[2605-138.jpg] такое, что[2605-139.jpg] . Семейство отношений [2605-140.jpg] наз. (отделимой) равномерной структурой на X (а отношения U наз. окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит [2605-141.jpg], и пересечение всех окружений диагонали совпадает с [2605-142.jpg]; 3) вместе с U окружением диагонали является и U-1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что [2605-143.jpg] Множество, наделённое равномерной структурой, наз. равномерным пространством. Отображение [2605-144.jpg] равномерного пространства X в равномерное пространство Y наз. равномерно непрерывным, если прообраз при отображении[2605-145.jpg] любого окружения диагонали[2605-146.jpg][2605-147.jpg] содержит нек-рое окружение диагонали из [2605-148.jpg] . Равномерные пространства X и У наз. равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение [2605-149.jpg], обратное к к-рому также является равномерно непрерывным отображением.
В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на X определяет нек-рую структуру близости: [2605-150.jpg] тогда и только тогда, когда [2605-151.jpg] для любого окружения диагонали [2605-152.jpg] При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.
3. Алгебраическая топология
Пусть каждому топологич. пространству X (из нек-рого класса) поставлен в соответствие нек-рый алгебраич. объект h(X) (группа, кольцо и т. п.), а каждому непрерывному отображению [2605-153.jpg] - нек-рый гомоморфизм h(f):
[2605-154.jpg](или[2605-155.jpg]
являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой
[2605-156.jpg]
представляет собой функтор (соответственно кофункто р). Большинство задач алгебраич. Т. так или иначе связано со следующей задачей распрост ранения: для данного непрерывного отображения[2605-157.jpg] подпространства [2605-158.jpg] в нек-рое топологич. пространство [2605-159.jpg] найти непрерывное отображение [2605-160.jpg] совпадающее на А с f, т. е. такое, что [2605-161.jpg] где [2605-162.jpg] - отображение вложения (i(а) = а для любой точки [2605-163.jpg]. Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (ко-функтора) h существует такой гомоморфизм [26 |
