БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

ТУРБОХОД, судно, приводимое в движение паровой или газовой турбиной.
УБИЙСТВО, в уголовном праве преступление.
УЗБЕКСКИЙ ЯЗЫК, язык узбеков.
УПСАЛА (Uppsala), город в Швеции.
ФОРМООБРАЗОВАНИЕ, образование грамматич. форм слова.
ФОТОТАКСИС (от фото... и греч. taxis - расположение).
ФУРКАЦИЯ (от позднелат. furcatus-разделённый).
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА, см. Дробная и целая части числа.
"ТЕЛЕВИДЕНИЕ И РАДИОВЕЩАНИЕ", ежемесячный литературно-критич. и теоретич. иллюстрированный журнал.
ЭЙРИ ФУНКЦИИ, функции Ai(z) и Bi(z).


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

8695912921652249431бразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов ("общая Т.", "алгебраич. Т." и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.

1. Общая топология

Часть Т., ориентированная на ак-сиоматич. изучение непрерывности, наз. общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Акеиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологич. структурой, или топологией, на множестве X наз. такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество 0 и всё X открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на к-ром задана топологич. структура, наз. топологическим пространством. В топологич. пространстве X можно определить все осн. понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Напр., окрестностью точки х е X наз. произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество А с X наз. замкнутым, если его дополнение X \ А открыто; замыканием множества А наз. наименьшее замкнутое множество, содержащее А; если это замыкание совпадает с X, то Л наз. всюду плотным в Хит. д.

По определению, 0 и X являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в X нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологич. пространство X наз. связным. Наглядно связное пространство состоит из одного "куска", а несвязное - из нескольких.

Любое подмножество А топологич. пространства X обладает естественной топологич. структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабжённое этой структурой А наз. подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой нек-рую её е-окрестность (шар радиуса е с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства IRn является топологич. пространством. Теория таких пространств (под назв. "геометрич. Т.") и теория метрич. пространств включаются по традиции в общую Т.

Геометрич. Т. довольно чётко распадается на две части: изучение подмножеств IRn произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является т. н. теория континуумов, т. е. связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в IRn могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т. п. (вложения в IRn, напр., сфер могут быть очень сложно устроенными).

Открытым покрытием топологич. пространства X наз. семейство его открытых множеств, объединением к-рого является всё X. Топологич. пространство X наз. компактным (в другой терминологии - бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классич. теорема Гейне-Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество IRn компактно. Оказывается, что все осн. теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (напр., теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологич. пространств. Это определяет фундаментальную роль, к-рую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений общей Т., имеющих общематематическое значение.

Открытое покрытие [2605-31.jpg] наз. вписанным в покрытие [2605-32.jpg], если для любого[2605-33.jpg]существует а такое, что[2605-34.jpg] Покрытие [2605-35.jpg], наз. локально конечным, ' если каждая точка [2605-36.jpg] обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологич. пространство наз. паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологич. пространств, получающихся наложением т. н. условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологич. пространства, т. е. пространства [2605-37.jpg], в к-рых можно ввести такую метрику [2605-38.jpg], что Т., порождённая [2605-39.jpg] в X, совпадает с Т., заданной в X.

Кратностью открытого покрытия наз. наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологич. пространства X можно вписать открытое покрытие кратности [2605-40.jpg] обозначается символом[2605-41.jpg]и наз. размерностью [2605-42.jpg] Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрич. ситуациях [2605-43.jpg] совпадает с обычно понимаемой размерностью, напр.[2605-44.jpg] Возможны и др. числовые функции топологич. пространства X, отличающиеся от dim X, но в простейших случаях совпадающие с dim X. Их изучение составляет предмет общей теории размерности - наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, напр., дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрич. фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т. п.

Важные классы топологич. пространств получаются наложением т. н. аксиом отделимости. Примером является т. н. аксиома Хаусдорфа, или аксиома [2605-45.jpg], требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологич. пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, наз. хаусдорфовым, или отделимым. Нек-рое время в математич. практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (напр., любое метрич. пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологич. пространств в анализе и геометрии постоянно растёт.

Топологич. пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, наз. вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать нек-рой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки[2605-46.jpg] и любого не содержащего её замкнутого множества [2605-47.jpg] существовала непрерывная функция [2605-48.jpg] равная нулю в xo и единице на[2605-49.jpg]

Топологич. пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, наз. локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из[2605-50.jpg]

Отображение [2605-51.jpg] топологич. пространства [2605-52.jpg] в топологич. пространство [2605-53.jpg] наз. непрерывным отображением, если для любого открытого множества [2605-54.jpg] множество [2605-55.jpg] открыто в X. Непрерывное отображение наз. гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение [2605-56.jpg] : [2605-57.jpg] непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологич. пространств [2605-58.jpg], перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологич. свойства (т. е. свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологич. точки зрения гомеоморфные топологич. пространства (т. е. пространства, для к-рых существует хотя бы один гомеоморфизм [2605-59.jpg]) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, к-рые можно совместить движением). Напр., гомеоморфны ("топологически одинаковы") окружность и граница квадрата, шестиугольника и т. п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна "восьмёрке"). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).

Пусть [2605-60.jpg] - произвольное семейство топологич. пространств. Рассмотрим множество X всех семейств вида [2605-61.jpg] где [2605-62.jpg] (прямое произведение множеств [2605-63.jpg]). Для любого [2605-64.jpg] формула [2605-65.jpg] определяет нек-рое отображение[2605-66.jpg] (наз. проекцией). Вообще говоря, в X можно ввести много топологич. структур, относительно к-рых все отображения [2605-67.jpg] непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (т. е. содержащаяся в любой такой структуре). Снабжённое этой топологич. структурой множество [2605-68.jpg] наз. топологич. произведением топологич. пространств [2605-69.jpg] и обозначается символом [2605-70.jpg] (а в случае конечного числа сомножителей