| 8695912 9216 5224 943 1к-рой и задаются компоненты тензорного поля в этой точке. При переходе от одной системы криволинейных координат (x; ...,xn) к другой (у'..., уn) локальная система координат в каждой точке меняется, причём базисные векторы преобразуются по формулам
[25I-35.jpg]
Иными словами, коэффициенты линейного преобразования A'J будут различными в разных точках и равны
[25I-36.jpg]
точно так жематрица B'fсостоит из выражений
[25I-37.jpg]
Поэтому тензорным полем относительно криволинейных координат называют совокупность функций tJ11...is, > заданных в каждой точке области для системы криволинейных координат и преобразующихся при переходе от одной системы криволинейных координат к другой по формулам (2), где положено
[25I-38.jpg],[25I-39.jpg]
В рассматриваемом случае частные производные компонент поля по координатам x' уже не образуют тензорного поля. Это объясняется тем, что при переходе от одной точки к другой изменяются не только компоненты тензора, но и локальная координатная система, к к-рой этот тензор относится. Поэтому при определении изменения тензора надо учитывать не только изменение компонент тензора при переходе от точки P(x') к бесконечно близкой ей точке Q(x' + dx'), но и изменение локальной координатной системы. Иными словами, компоненты приращения тензора нельзя считать равными приращениям его компонент. Напр., для векторных полей м(Р), где и имеет контравариантные компоненты и; приращение векторного поля равно (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) выражению
[25I-40.jpg]Здесь через Г1kr
обозначены т. н. символы Кристоффеля (см. Кристоффеля символ), связанные с метрич. тензором gij соотношением
[25I-41.jpg]
Отметим, что сами символы Кристоффеля не являются тензорами. Слагаемое du' учитывает зависимость компонент приращения тензора от приращения его компонент, а слагаемое Г1krukdxr - зависимость компонент приращения тензора от изменения системы координат при переходе от точки к точке. Вектор Du1 называется ковариантным (или абсолютным) дифференциалом векторного поля м(Р), а совокупность величин
[25I-42.jpg]
- ковариантной (или абсолютной) производной этого поля. Аналогично этому ковариантная производная ковариантного векторного поля равна
[25I-43.jpg]
Для тензорного поля t.ьс(Р) ковариантная производная определяется формулой:
[25I-44.jpg]
Ковариантная производная тензорного поля образует тензорное поле, имеющее на одну ковариантную валентность больше, чем исходное поле. В частном случае, когда криволинейные координаты являются прямоугольными, ковариантное дифференцирование тензорных полей переходит в обычное, т. е. в операцию образования поля
[25I-45.jpg]
В этом случаесимволы Кристоффеля равны нулю. Правила ковариантного дифференцирования (для суммы и произведения тензоров) совпадают с правилами обычного дифференцирования. Ковариантное дифференцирование перестановочно со свёртыванием. Имеет место также теорема о перестановке порядка ковариантного дифференцирования, т. е.
[25I-46.jpg][25I-47.jpg]
Отметим, что ковариантная производная метрич. тензора gtk равна нулю.
Историческая справка. Возникновение Т. и. было подготовлено в 19 в. развитием теории алгебраич. форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрич. пространства (Б. Риман). Современную форму Т. и. придал итал. математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому Т. и. иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математич. часть к-рой целиком основана на Т. и.
[25I-48.jpg]
б) Умножение тензоров. Произведением двух тензоров
[25I-49.jpg]
(быть может различного строения) называется тензор с компонентами
[25I-50.jpg][25I-51.jpg]
Произведение тензоров, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если один из тензоров имеет нулевую валентность (т. е. является скалярной величиной
[25I-52.jpg]),
то умножение его на другой тензор
[25I-53.jpg]
сводится к умножению всех компонент тензора на число
[25I-54.jpg][25I-55.jpg]
в) Свёртывание тензора. Результатом свёртывания тензора
[25I-56.jpg]
по индексам and (верхнему и нижнему) называется тензор
[25I-57.jpg]
компоненты к-рого
равны
[25I-58.jpg]
(здесь производится суммирование по индексу г')- Напр., след матрицы p't является результатом свёртывания её по индексам i и ;; бискалярное произведение р1. q'f тензоров р' и q'tравно результату свёртывания их произведения по всем индексам. При полном свёртывании тензора (по всем индексам) получается инвариант.
r) Перестановка индексов.
Пусть компоненты тензора
[25I-59.jpg]
выражаются через компоненты тензора
[25I-60.jpg]
формулой
[25I-61.jpg]
Тогда говорят, что
[25I-62.jpg]
получился из
[25I-63.jpg]
перестановкой индексов сdе. При этом переставляться когут только индексы одного и того же уровня.
Лит.: К о ч и н H. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; Рашевский П. К., Рнманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; М а кКоннел А. - Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ., М., 1963; Сокольников И. С., Тензорный анализ, пер. с англ., М., 1971.
По материалам одноимённой статьи из 2-го изд. БСЭ.
ТЕНИИДОЗЫ, гельминтозы человека и животных, вызываемые паразитирующими в кишечнике ленточными глистами сем. тении д. Чаще других встречаются тениоз и тениаринхоз. Возбудитель т ен и о з a - цепень свиной (Taenia soliurn); его дл. до 1 ..5-2 м, головка с 4 присосками и венчиком крючьев (с помощью к-рых он прикрепляется к стенке тонкой кишки), за ней шейка и тело из мн. члеников с яйцами. Личинки цепня - цистицерки (финны) - паразитируют в мышцах и др. тканях свиньи, к-рая заражается ими, поедая корм, загрязнённый фекалиями больного тениозом. Человек заражается тениозом при употреблении в пищу финнозной свинины. При попадании в желудочно-кишечный тракт человека яиц свиного цепня личинки паразита, проникая через стенки капилляров, разносятся с током крови в различные органы и ткани, развиваясь там в цистицерки и вызывая цистицеркоз. Т. проявляются желудочно-кишечными (тошнота, боли в животе и т. д.) и нервными (раздражительность, быстрая утомляемость и др.) расстройствами, реже - умеренным малокровием. Возбудитель тениаринхоз а - цепень бычий (Taeniarhynchus saginatus); его дл. до 6-7 м, головка без крючьев. Финны бычьего цепня паразитируют у кр. рог. скота; пути заражения те же, что и при тениозе. Проявления заболевания - желудочно-кишечные и нервные расстройства; цистицеркоз не развивается.
Лечение Т.- фенасал, экстракт мужского папоротника, семена тыквы; при цистицеркозе - операция. Профилактика - гигиенич. содержание скота, вет.-сан. надзор за мясом; соблюдение правил личной гигиены и кулинарной обработки мяса; мед. осмотры работающих с с.-х. животными.
Лит.: Основы цестодологии, под ред. К. И. Скрябина, т. 4, с. 404, М., 1964. H. H. Плотников.
ТЕНИОЗЫ ЖИВОТНЫХ, группа гельминтозов, вызываемых паразитированием более 40 видов крупных цестод рода тениа (Taenia). Тении в ленточной стадии паразитируют в кишечнике различных хищных млекопитающих (сем. псовых, кошачьих, куньих и др.) и значительно реже у хищных и рыбоядных птиц, вызывая нарушения моторной, секреторной и всасывающей функций кишечника. Промежуточные хозяева паразитов - грызуны и жвачные. Тяжесть заболевания зависит от количества паразитов, возраста и общего состояния больного животного. Возможна гибель животных от тениозов. Лечение: дегельминтизация противоцестодозными препаратами. Профилактика: предупреждение поедания промежуточных хозяев, систематич. дегельминтизация домашних плотоядных и пушных зверей в неблагополучных по тениозам хозяйствах.
Лит.: Абуладзе К. И., в кн.: Основы цестодологии, т. 4, М., 1964.
ТЕНИРС (Teniers) Давид Младший (крещён 15.12.1610, Антверпен,-25.4.1690, Брюссель), фламандский живописец.
Д. Т е н и р с. "Караульня". 1642. Эрмитаж. Ленинград.
Учился у отца - Давида Т. Старшего. В 1651 переселился в Брюссель, где стал придворным художником и директором карт. гал. эрцгерцога Леопольда Вильгельма. Инициатор основания Антверпенской АХ (1665). Многочисл. произв. Т. разнообразны по тематике (бытовые сцены, религ. картины, юмористич. сценки с обезьянами, портреты) и отличаются светлой, серебристой тональностью, виртуозной, порой манерной тщательностью письма. Пейзажам Т. ("Горный пейзаж", 1640, Эрмитаж, Ленинград) свойственна тонкая разработка световоздушных эффектов. Особенно характерны для |
