| 8695912 9216 5224 943 1него значения (в приведённом примере- значения 1, 2, 3). Т. и., как и векторное исчисление, является математич. аппаратом, при к-ром исключается влияние выбора координатной системы. Это достигается тем, что задание компонент тензора в какой-либо системе координат определяет их во всех других системах координат. В Т. и. указываются методы получения соотношений между тензорами и функций от компонент тензоров, не меняющихся при переходе от одной системы координат к другой (инвариантных соотношений и инвариантов).
Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитич. формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.
1. Тензоры в прямоугольных координатах. Величины, к-рые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3k числами Рi1... и (ir - 1,2,3) и при замене системы координат (x1, хг, x3) системой (x1 , x2 , x3 ) заменяются числами
Pj1... jkпо формулам:
[25I-27.jpg]
где аji = cos (xj; xI), наз. тензорными величинами, а определяющие их системы чисел - тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют также и сами тензорные величины). Число k называется в алентностью (рангом) тензора, числа рi1....ik. - его компонентами (координатами). Аналогичным об" разом определяются тензоры в пространстве любого числа измерений.
Примеры тензоров: если координаты ректора а обозначить а. (i = 1, 2, 3), то
числа а. образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а = {а.} и b = {bi} соответствует тензор с компонентами pij = aibj. Этот тензор называется диадой. Если fl(x1, x2, x3)-нек-рое векторное поле, то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами Он называется производной
[25I-28.jpg]
вектора а = {а,} по вектору r {x1,x2, x3} (обозначается также через -gj). Упомянутая выше совокупность чисел Ju образует тензор второй валентности (тензор инерции).
2. Тензоры второй валентности. В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.
Если рij = pji, то тензор называется симметрическим, а если рц = -рц, то - кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрич. тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический -три: w1 = р32 =-р23 ; w2=р13 = - Р31; w3 = р21 =-р12 (р11 = р22 = Р33 = 0). При этом компоненты coi, co2, со3 преобразуются как компоненты псевдовектора (см. Осевой вектор). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрич. тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять рц = р22 = р33 = 1 pij = 0, i<>j, то получится тензор, называемый единичным тензором. Компонен^ты этого тензора обозначаются при помощи Кронекера символа бij;. Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор - симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрич. и кососимметрич. тензоров. Если а(г) - вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрич. часть называется тензором деформации; кососимметрич. часть соответствует псевдовектору rota (см. Вихрь векторного поля),
Тензор da/dr является симметрическим только в том случае, когда поле а(г) потенциально (см. Потенциальное поле).
da/dr Разложение тензора da/dr на симметрич. и кососимметрич. части соответствует разложению относительного смещения da на чистую деформацию и на поворот тела как целого.
Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора р11 + р22 + р33. Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно на чала координат, для тензора da/dr - дивергенции векторного поля а(г) и т. д.
3. Тензоры в аффинных координатах. Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может быть описано двумя различными системами чисел: числами А1j равными компонентам векторов е' нового базиса относительно векторов ei старого базиса, и числами B't , равными компонентам векторов а относительно базиса е'. . В соответствии с этим бывают тензоры различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа А'. , а в законы преобразования других -числа В!{ . Встречаются и тензоры, в законы преобразования к-рых входят как числа Л' , так и числа В1. . Тензоры первого вида называются ковариантными, второго - контравариантными и третьего - смешанными тензорами. Более точно, (r + 5)-валентным смешанным тензором s раз ковариантным и r раз контравариантным называют совокупность 3r+s чисел рА-/, заданную в каждой системе аффинных координат и преобразующуюся при переходе от одной системы координат к другой по формулам:
[25I-29.jpg]
При рассмотрении прямоугольных координат не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные (верхние) индексы тензора, т. к. для двух таких систем координат Аij= Вj=eiej Коэффициенты уравнения поверхности второго порядка pijxixj = l образуют ковариантный тензор валентности 2, а элементы рi. матрицы линейного преобразования - тензор, 1 раз ковариантный и 1 раз контравариантный. Система трёх чисел x1, x2, x3, преобразующихся как координаты вектора x-x'ei, образует 1 раз контравариантный тензор, а система чисел, преобразующихся как скалярное произведение x = xei, образует 1 раз ковариантный тензор. Относительно преобразования аффинных координат символ Кронекера 6i является смешанным тензором (поэтому, в отличие от пункта 2, здесь пишут один индекс сверху, другой - снизу). Совокупность чисел дц = е.е,, где а - векторы базиса, образует тензор, называемый ковариантным метрич. тензором. Длина любого вектора пространства x = xiei равна
[25I-30.jpg]
а скалярное произведение двух векторов x и у равно дijх'у'. Совокупность величин gijтаких, что gij gir = 6i , образует тензор, к-рый называется контравариантным метрич. тензором.
Дословно, так же как и в трёхмерном пространстве, определяются тензоры в n-мерном пространстве. Важным примером тензоров в n-мерном пространстве являются совокупности компонент noлиеекторов.
Порядок следования индексов существенным образом входит в определение тензора, т. е. при перестановке индексов компоненты тензора, вообще говоря, меняются. Тензор называется симметрическим по данной совокупности индексов (одного и того же уровня), если при перестановке любых двух индексов этой совокупности он не меняется. Если же при такой перестановке компоненты тензора меняют знак, то он называется кососимметрическим по этой совокупности индексов. В более общем смысле условием симметрии тензора называют любую инвариантную линейную зависимость между его компонентами.
4. Действия над тензорами. Существуют четыре основные операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензоров, свёртывание тензоров по двум или более индексам и перестановка индексов тензора. Так как тензор задаётся своими компонентами в различных системах координат, то действия над тензорами задаются формулами, выражающими в каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты тензоров, над к-рыми производятся действия. При этом формулы должны быть такими, чтобы в результате выполнения действия получился тензор.
а) Сложение тензоров. Суммой двух тензоров одинакового строения (т. е. имеющиходинаковое число верхних и нижних индексов) называется тензор с компонентами
[25I-31.jpg]
система координат, то тензорное поле Т(Р) можно рассматривать как совокупность функций tit...ik(x1, x2, x3), заданных в каждой точке PCx1, x2, x3) области и преобразующихся при переходе от одной системы прямоугольных координат к другой по формулам вида (1). В этом случае частные производные компонент тензора по координатам
[25I-32.jpg]
образуют также тензор, валентность к-рого на единицу выше валентности исходного тензора. Напр., при дифференцировании скалярного поля получается поле градиента, при дифференцировании поля градиента - поле симметрия. тензора второй валентности: и т. д.
В тензорном анализе
[25I-33.jpg]
рассматриваются не только прямоугольные или аффинные, но и произвольные (достаточное число раз дифференцируемые) криволинейные координаты x'. В окрестности каждой точки эти координаты можно заменить аффинными координатами. В качестве базисных векторов этих аффинных координат надо взять частные производные
[25I-34.jpg]
радиус-вектора r в точке Р. Тогда скалярные произведения е.е. будут равны значениям компонент метрич. тензора дц в точке Р, с помощью к-рого длина бесконечно малого вектора PQ, P(x'), Q(xi + dx') выражается формулой ds1 = gijdx'dx'. Поэтому метрика в криволинейной и прямолинейной системах координат совпадает с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Тем самым в каждой точке пространства вводится своя (локальная) система аффинных координат, относительно |
