| 8695912 9216 5224 943 1лощади этой области с точностью до слагаемого порядка корня кубического из главного члена. Позднее чешским математиком В. Ярником установлено, что точность этой формулы при сделанных предположениях относительно f(x) нельзя существенно улучшить.
Норвежским математиком В. Вруном доказаны (1919) теоремы, к-рые в определённом смысле приближались к проблеме простых близнецов и проблеме Эйлера. А именно, им доказана бесконечность числа nap u1 и u2, таких, что u2 - u1= 2 и число простых делителей u1 и u2не превосходит девяти; а также разрешимость уравнения u1+ u2 = 2N, с теми же условиями на u1и u2.
Г. Харди и Дж. Литлвуд опубликовали (1922 - 23) серию мемуаров под общим названием "Partitio Numerorum", в к-рых развили общий метод решения аддитивных задач Ч. т., получивший впоследствии название "кругового". Этот метод (на примере решения проблемы Варинга) состоит в следующем: пусть
[2911-27.jpg]
тогда
[2911-28.jpg]
где Ik(N) - число решений уравнений Варинга, к-рое находят по формуле
[2911-29.jpg]
Г. Харди и Дж. Литлвуд изучали последний интеграл при R -> 1-0. Окружность интегрирования определённым образом разбивается на "большие" и "малые" дуги (отчего и получил название метод), при этом интегралы по "большим" дугам дают главный член асимптотической формулы для Ik(N), а по "малым" - остаточный. T. о. получают асимптотич. формулу величины
[2911-30.jpg]
где q(N) - нек-рый "особый ряд"; q(N)>= с >0, б > 0 и k >= (п - 2) 2n-1+ 5. С помощью этого метода Г. Харди и Дж. Литлвуд получили следующие результаты: дали новое решение проблемы Варинга, причём в форме более точной, чем это было у Д. Гильберта; дали условное решение проблемы Гольдбаха; сформулировали и выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами.
В нач. 30-х гг. 20 в. И. M. Виноградовым был найден т. н. метод тригонометрич. сумм, позволивший решить многие проблемы Ч. т. Так, занимаясь проблемой Варинга, И. M. Виноградов обнаружил (1929), что результат Харди - Литлвуда будет значительно проще, если вместо производящих рядов рассматривать тригонометрич. суммы вида
[2911-31.jpg]
где F(x) - действительная функция, и пользоваться соотношением
[2911-32.jpg]
Тогда Ik(N) в проблеме Варинга запишется так:
[2911-33.jpg]
где
[2911-34.jpg]
Далее интервал интегрирования [0,1] разбивается рациональными несократимыми дробями вида a/b, 0<=a< b <= t, t- параметр, зависящий от N, на подынтервалы подобные "большим" и "малым" дугам кругового метода. Интервалы, отвечающие дробям с малыми знаменателями, и сумма интегралов по ним дают главный член асимптотич. формулы для Ik(N). Другие интервалы отвечают "малым" дугам; для них И. M. Виноградов оценивает |S(a)| методом Вейля и получает остаточный член. К тригонометрич. суммам сводятся и др. задачи Ч. т.: распределение дробных долей функций, целые точки в областях на плоскости и в пространстве, порядок роста дзета-функции в критич. полосе п др. Причём главным в таких задачах является вопрос о возможно более точной оценке модуля тригонометрич. суммы. И. M. Виноградов предложил два метода оценок тригонометрич. сумм. Первый метод (1934) дал возможность получить новые оценки сумм Вейля. Следствием этого явились современные оценки, выведена асимптотич. формула в проблеме Варинга при k>=4n2 ln п, доказано, что для разрешимости уравнения Варинга при N >= No(n) достаточно не более 3п ln п -11n слагаемых, получен новый остаточный член в асимптотич. формулах для пи(х) и пси(x) (И. M. Виноградов, 1957) порядка
[2911-35.jpg]
получено решение проблемы Гильберта - Камке (К. К. Марджанишвили, 1953).
Второй метод Виноградова (1937) позволил оценить такие тригонометрич. суммы, в к-рых суммирование ведётся по простым числам:
[2911-36.jpg]
Это привело к доказательству асимптотич. формулы для числа представлений нечётного числа суммой трёх простых, из к-рой следовало, что все достаточно большие нечётные числа являются суммой трёх простых. Тем самым была решена Гольдбаха проблема. Этот метод привёл к решению др. общих задач Ч. т., напр, проблемы Варинга в простых числах, проблемы распределения квадратичных вычетов и невычетов в последовательностях вида p+а, где p принимает значения простых чисел.
Развитие идей А. Туэ (построение вспомогательного многочлена, с высокой кратностью корня) и Д. Пойа (США) (целая аналитич. функция, принимающая в целых положительных точках целые значения и растущая медленнее 2Y|S| , Y < 1, является многочленом) привело А. О. Гельфонда и нем. математика T. Шнейдера (1934) к решению 7-й проблемы Гильберта, утверждающей трансцендентность чисел вида aB, a не равно0,1, B - алгебраич. число степени >=2. К. Зигелъ доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций типа еx (т. н. E-функции) в алгебраич. точках.
В алгебраич. Ч. т. доказан ряд теорем, обобщающих теоремы теории целых чисел на целые числа алгебраич. числовых полей; нек-рые из них привели и к чисто арифметич. результатам, сюда, в частности, относится теория представлений чисел полными и неполными разложимыми формами (простейшей из таких задач является уравнение Пелля). Развита также теория решений сравнений от двух и более переменных, из к-рой, напр., следует, что сравнение
F (х, у) = 0 (mod p), где F - абсолютно неприводимый многочлен, имеет P + O(p)1/2решений (теорема Хассе - Вейля).
Начиная с конца 40-х гг. и по наст, время (1978) в Ч. т. появилось много работ в самых различных направлениях. Исследования ведутся как в классич. областях, так и в новых. Сов. математиками Б. H. Делоне и Д. К. Фаддеевым полностью исследовано диофантово уравнение х3 - ау3 = 1 (1940). В теории дзета-функции Римана А. Сельберг (Норвегия, 1942) доказал, что конечная доля всех нулей E(s) лежит на критич. прямой Re s =1/2Ю. В. Линник доказал, что наименьшее простое число в арифметич. прогрессии с разностью k не превосходит kc, с - постоянная, и разработал дисперсионный метод (1958 - 1961), с помощью к-рого вывел асимптотич. формулу для числа представлений натурального N суммой простого и двух квадратов (проблема Харди - Литлвуда); этим же методом он получил асимптотич. формулу для числа решений неопределённого уравнения вида p - а = ху, p <=N, ху <= N, а - фиксированное целое (проблема простых делителей Титчмарша). Метод тригонометрич. сумм Виноградова получил дальнейшее развитие в работах самого И. M. Виноградова и его учеников. Безуспешные попытки доказать гипотезу Римана привели к ряду методов, к-рые обходят её и в то же время позволяют решить определённые задачи Ч. т., выводимые из этой гипотезы. Сюда относится проблема оценки разности pn+1- pn =дельта n, к-рая сведена к оценке числа нулей дзета-функции в прямоугольниках вида q <= Re s <=1, q > 1/2, | Im s |<= T. Из таких "плотностных" теорем и границы нулей E(s), полученной на основе метода Виноградова, следует, что pn+1- pn = О (рn0,6). К подобного рода результатам пришли и в теории распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях и её применениях к аддитивным задачам с простыми числами.
В теории трансцендентных чисел англ, математик К. Рот (1955) усилил метод Туэ и доказал, что алгебраич. число не может быть приближено рациональной дробью P/Q существенно точнее, чем Q-2-E, E > О - произвольно мало; англ, математик А. Бейкер (1966) получил оценку снизу линейной формы логарифмов алгебраич. чисел, что привело к эффективному доказательству теоремы Туэ о конечности решений уравнения
[2911-37.jpg]
- целое. (указываются границы этих решений) и к эффективному усилению теоремы Лиувилля о приближении алгебраич. чисел рациональными дробями. Большое количество проблем Ч. т. ещё не решено (сюда относятся проблемы простых близнецов, бесконечности простых чисел вида n2 + 1, целых точек в круге и под гиперболой, распределения нулей дзета-функции, трансцендентность чисел n2 + е и постоянной Эйлера и мн. др.). Лит.: Виноградов И. M., Основы теории чисел, 8 изд., M., 1972; его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, M., 1971; его же, Особые варианты метода тригонометрических сумм, M., 1976; КарацубаА. А., Основы аналитической теории чисел, M., 1975; Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., M., 1972; Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., M., 1971; Чандрасек, харан К., Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., M., 1974; X а с с е Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., M., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., M.- Л., 1936; Титчмарш E. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., M., 1953; В е н к о в Б. А., Элементарная теория чисел, М.- Л., 1937.
А. А. Карацуба.
2914.htm
ЧИЧИБАБИНА РЕАКЦИЯ, взаимодействие азотсодержащих гетероциклич. соединений (гл. обр. пиридина, хинолина и изохинолина) с амидом натрия NaNH2, приводящее к образованию а-аминопроизводных; напр., из пиридина получают а-аминопиридин:
[2911-38.jpg]
Ч. р. обычно проводят при кипячении в ароматич. углеводороде (или в диалкиланилине) либо п |
